Призма Призма - многогранник, у которого боковые грани – прямоугольники или параллелограммы, а основаниями служат два равных многоугольника. Если у призмы основания - правильные многоугольники, а высота перпендикулярна основанию, то призма – правильная и прямая. В зависимости от количества сторон основания призмы бывают треугольные, четырехугольные и т. д.

Пирамида Пирамида-многогранник, у которого боковые грани представляют собой треугольники, имеющие общую вершину. В основании у пирамиды – многоугольник. В зависимости от количества сторон основания пирамида называется трех-, четырех-, пятиугольной и т. д. Если у пирамиды основание правильный многоугольник, а высота перпендикулярна основанию, то пирамида правильная и прямая

Прямой круговой конус Прямой круговой конус – тело вращения, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, перпендикулярной к оси вращения. У прямого кругового конуса коническая поверхность образована вращением прямой линии (образующей), пересекающей ось вращения в точке (вершине), вокруг этой оси вращения. Конус, ось которого перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций, называется прямым.

Построение проекций прямой правильной шестиугольной пирамиды d=50 мм h=60 мм s S S х у"у" у z

Определение недостающих проекций точки «а», расположенной на поверхности пирамиды, по заданной фронтальной проекции s 1 2(6) 3(5) 4 S 56 S 6(5) 1(4) 2(3) а´ n´ n а а

Определение недостающих проекций точек «а» и «в», расположенных на поверхности цилиндра, по заданным фронтальным проекциям Z y Yх а´ а а" в´ в в"

Любое геометрическое тело состоит из оболочки, т. е. внешней поверхности, и какого-либо материала, его наполняющего (рис. 42). Каждое геометрическое тело имеет свою форму, кото­рая различается по составу, структуре и размерам.

Состав формы геометрического тела - перечень отсеков по­верхностей, составляющих его (табл. 4). Так, форма прямоуголь­ного параллелепипеда состоит из шести отсеков, поверхностей (граней): две из них являются основаниями параллелепипеда, а остальные четыре отсека образуют замкнутую выпуклую лома­ную поверхность, называемую боковой поверхностью.

Рис 42. Геометрическое тело: 1 - оболочка; 2 - отсеки поверхностей, образующих оболочку тела

Структура формы геометрического тела - характеристика формы, которая показывает взаимосвязь и расположение отсеков поверхностей относительно друг друга (см. рис. 44).

Эти характеристики взаимосвязаны и в наибольшей степени определяют форму геометрического тела и любого другого объ­екта.

По форме простые геометрические тела делятся на много­гранники и тела вращения.

Плоскость является частным случаем поверхности.

Многогранники - геометрические тела, оболочка которых об­разована отсеками плоскостей (рис. 43, а).

Грани - отсеки плоскостей, которые составляют поверхность (оболочку) многогранника; ребра - отрезки прямых, по которым пересекаются грани; вершины - концы ребер.

Тела вращения - геометрические тела (рис. 43, б), оболочка которых представляет собой поверхность вращения (например, шар) либо состоит из отсека поверхности вращения и одного (двух) отсека плоскостей (например, конус, цилиндр и т. п.).

Рис. 43. Многогранники (а) и тела вращения (б): 1 - оболочка геометрического тела;
2 - отсеки плоскостей; 3 - отсеки поверхностей вращения

4. Состав простых геометрических тел

Структура формы влияет на внешний облик геометрического тела. Рассмотрим это на примере прямого и наклонного цилинд­ров (рис. 44), отсеки оснований которых по-разному расположены относительно друг друга.

Рис. 44. Структурные различия в форме цилиндров

Рис. 45. Изменения формы цилиндров

Рис. 46. Четырехугольные пирамиды различной формы

Сравнивая изображения цилиндров на рисунке 45, можно сделать вывод, что изменение положения одного из оснований приводит к изменению формы геометрического тела.

Изменение высоты, ширины, длины, диаметра основания, угла наклона осевой, положение оснований относительно друг друга су­щественно влияет на форму геометрических тел. Например, рас­смотрите четырехугольные пирамиды различной формы (рис. 46).

Рис. 47. Геометрические тела

ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

Тема: КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ГРУППЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Цели: приобрести практические навыки по выполнению комплексного чертежа группы геометрических тел, научиться грамотно и аккуратно выполнять чертежи, развивать пространственные представления.

ЗАДАНИЕ: построить на формате А3 в трех проекциях группу геометрических тел, взаимное расположение которых представлено на горизонтальной проекции и изометрической проекции (по вариантам).

Методические указания

Каждый предмет, с точки зрения пространственной формы, является или геометрическим телом, или комбинацией различных геометрических тел, ограниченных кривыми или плоскими поверхностями. Чтобы правильно выполнить чертеж предмета, необходимо уметь выполнять чертежи отдельных геометрических тел.

Для развития пространственного воображения полезно выполнять комплексные чертежи группы геометрических тел и несложных моделей с натуры. Наглядное изображение группы геометрических тел показано на рис. 1.

Построение комплексного чертежа этой группы геометрических тел следует начинать с горизонтальной проекции, так как основания цилиндра, конуса и шестигранной пирамиды проецируются на горизонтальную плоскость проекции без искажений. С помощью вертикальных линий связи строим фронтальную проекцию. Профильную проекцию строим с помощью вертикальных и горизонтальных линий связи.

Рис. 1

Последовательность выполнения графической работы

Построение геометрических тел начинаем с вида сверху, взаимное расположение которых представлено на горизонтальной проекции и изометрической проекции (в варианте на чертеже сверху). Затем при помощи вертикальных линий связи получаем фронтальную проекцию, а профильную проекцию строим с помощью вертикальных и горизонтальных линий связи. Далее на оставшемся месте строим аксонометрию этих геометрических тел.

Проецирование цилиндров. Наиболее простым является построение ортогональных проекций прямого кругового цилиндра с вертикальной осью.

Боковая поверхность цилиндра образована движением образующей АВ вокруг его оси по направляющей окружности его основания. На рис.1а дано наглядное изображение этого цилиндра. На рис.2б показана последовательность построения трех его проекций – горизонтальной, фронтальной, профильной. Для упрощения построения основания цилиндра принято расположенным на горизонтальной плоскости проекций – Н.

а) б)

Рис. 2

Построение начинают с изображения основания цилиндра, т. е. двух проекций окружности (рис. 2б ). Так как окружность расположена на плоскости Н, то ее горизонтальная проекция будет тождественна с самой окружностью, фронтальная проекция этой окружности и профильная представляет собой отрезок горизонтальной прямой линии длиной. Равной диаметру окружности основания. После построения основания проведем на фронтальной и профильной две контурные (очерковые) образующие и на них отложим высоту цилиндра. Далее проведем отрезок горизонтальной прямой являющейся фронтальной проекцией и профильной проекцией верхнего основания цилиндра. Горизонтальные проекции верхнего и нижнего оснований цилиндра совпадают (сливаются).

Проецирование конусов. Наглядное изображение прямого кругового конуса показано на рис.3а. Боковая поверхность этого конуса образована движением образующей SB около оси конуса по направляющей – окружности основания.

а) б)

Рис. 3

Построение начинают с изображения основания конуса (рис.3б). Так как окружность расположена на плоскости Н, то ее горизонтальная проекция будет тождественна с самой окружностью, фронтальная проекция этой окружности и профильная представляет собой отрезок горизонтальной прямой линии длиной. Равной диаметру окружности основания. После построения основания на фронтальной проекции и профильной из середины откладываем высоту конуса (рис. 3б). Полученную вершину конуса соединяем прямыми с концами фронтальной проекции основания и профильной проекции основания.

Проецирование пирамид. Построение трех проекций шестиугольной пирамиды (рис. 4а) напоминает построение предыдущих фигур.

а) б)

Рис. 4

Построение начинаем с основания пирамиды – правильного шестиугольного (рис. 4б). Его можно построить с помощью циркуля деление окружности на шесть равных частей. Затем при помощи вертикальных линий связи получаем фронтальную и профильную проекции основания и из их середины восстанавливаем перпендикуляр и на нем откладываем высоту пирамиды. Получаем вершину. Вершину соединяем прямыми, которые являются фронтальными проекциями ребер, с вершинами углов шестиугольника (профильные проекции трех задних ребер совпадают).

Проецирование прямой пятиугольной призмы. Построение трех проекций прямой пятиугольной призмы (рис. 5а) также напоминает построение предыдущих фигур.

а) б)

Рис. 5

Построение начинаем с основания призмы – правильного пятиугольника (рис. 5б). Его можно построить с помощью циркуля деление окружности на пять равных частей. Затем при помощи вертикальных линий связи получаем фронтальную проекцию, где изображаем пять ребер, два из которых невидимы и профильную проекцию, где изображены три вертикальных ребра. Получаем вершину. Как и у проекций цилиндра, горизонтальная проекция верхнего и нижнего основания совпадают .

Варианты заданий.

Подведение итогов, домашняя работа

Литература:

Бродский А.М. Инженерная графика (металлообработка): учебник для СПО – М. «Академия», 2008

Бродский А.М. Практикум по инженерной графике: учебное пособие для СПО – М. «Академия», 2008

Куприков М.Ю. Инженерная графика: Учебник для СПО – М. «Дрофа», 2010

Боголюбов С.Н. Задания по курсу черчения. – М., Высш. школа,2008

– Государственная публичная научно-техническая библиотека России.

Прежде чем приступить к построению проекций геометрических тел, ознакомимся со способами нахождения проекций точек, расположен­ных на поверхностях мно­гогранников и тел враще­ния.

Нахождение проекций отдельных точек, располо­женных на поверхности тел, рассмотрим на трёх про­стейших геометрических формах: пирамиде, конусе и шаре. Нахождение гори­зонтальных проекций точек при заданных вертикальных их проекциях рассмотрим одновременно для пирамиды и конуса.

Пусть пирамида и ко­нус (фиг. 119, а, б) даны двумя своими проекциями, а точки А и В, лежащие на поверхностях этих тел, за­даны своими вертикальными проекциями а" и b". Требу­ется найти горизонтальные и профильные проекции этих точек.

Такие задачи можно ре­шать следующим способом: на поверхности тел через заданную точку и вершину фигуры проводится прямая линия и затем строятся про­екции этой прямой. Искомая горизонтальная проекция точки будет лежать на го­ризонтальной проекции пря­мой. На фиг. 119, а и 119, б через точку b" проведена вертикальная проекция s"k" вспомогательной прямой ли­нии SK. Как видно, верти­кальной проекции s"k" со­ответствует горизонтальная проекция sk, что позволяет построить горизонтальную проекцию точки В. После этого легко построить профильную проекцию точки b"".

Чтобы построить горизонтальную проекцию точки А для пирамиды, нет необходимости строить вспомогательную прямую, так как точка А по заданию лежит на ребре S2. При наличии профильной проекции пирамиды легко построить профильную проекцию а" точки А на про­фильной проекции ребра S2 и по ней построить горизонтальную проек­цию а. Если профильной проекции на чертеже нет, надо использовать следующее основное положение начертательной геометрии: если точка а"

делит отрезок s"2" в отношении s"a"/a"2"=m/n, то и на горизонтальнои проекции будет sa/a2=m/n. Вычислив по вертикальной проекции отношение ™, можно легко найти горизонтальную проекцию точки А на S2.

Эта задача может быть решена способом секущих плоскостей, являю­щимся общим для любой пространственной формы. Если провести через вертикальную проекцию точки А секущую горизонтальную плоскость P, то она пересечёт пирамиду по треугольнику, подобному треуголь­нику основания (фиг. 119, а), a ко­нус или шар (фиг. 119, б и 120) - по кругу. В этом случае треуголь­ник и круг сечения проектируются на горизонтальную плоскость в на­туральную величину. Горизонтальные проекции точки A расположены одновременно на перпендикулярах к оси ОХ, опущенных из соответ­ственных вертикальных проекций точки A.

При выполнении упражнений по проекционному черчению при­ходится довольно часто решать за­дачи на построение линий пересе­чения друг с другом двух поверх­ностей. Для выполнения этих по­строений необходимо уметь нахо­дить точки входа и выхода прямых, пересекающих заданные поверх­ности. Рассмотрим это построение на примерах.

Пусть даны проекции пирамиды, конуса, шара и прямые EF и MN, пересекающие эти тела. Прямая EF перпендикулярна к плоскости V, а прямая MN-к плоскости W (фиг. 121, а, б, в). Требуется построить точки входа и выхода прямых, пересекающихся с заданными поверх­ностями.

Проводим через прямые EF и MN горизонтальные секущие плос­кости: через прямую EF-плоскость P, а через прямую MN-плоскость Q. Эти плоскости образуют на горизонтальной плоскости проекций пира­миды и конуса в сечении фигуры, подобные их основанию, а для шара- круг. Точки пересечения прямых с контурами сечения и будут искомымй точками входа и выхода: для прямой EF-точки А и С, а для прямой MN-точки К и L.

Если прямая пересекает поверхность шара, пирамиды или конуса перпендикулярно к плоскостй Н, то в этом случае проводят через за­данную прямую фронтальную плоскость. С целью упрощения построений для пирамиды и конуса полъзуются горизонтально-проектирующей плоскостью, которая должна непременно проходить через вершину фигуры.

Построив затем на вертикальной плоскости проекций, соответственно секущей плоскости, контуры сечения, находят точки входа и выхода.

Примеры решения задач на построение проекций фигур

Пример 1 . На фиг. 122 даны три про­екции пятиугольной усечённой пирамиды с открытым вырезом, образованным несколь­кими секущими плоскостями. Сечением этих плоскостей образовано на поверхности пира­миды ряд характерных точек: С, D, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, В и А, которые на вертикаль­ной плоскости проекций отмечены соответ­ственно: c", d", 1", 2", 3", 4", 5", 6", 7", 8", b" и a". Требуется построить горизонтальные и профильные проекции этих точек.

Проекции точек А, В, С и D могут быть легко определены, так как они рас­положены на рёбрах пирамиды. Определим, для примера, горизонтальную проекцию точ­ки С, лежащую на ребре MN. Для этого проведём из точки с" проектирующую линию до пересечения с горизонтальной проекцией ребра MN и определим таким образом гори­зонтальную проекцию с точки С. Имея вер­тикальную и горизонтальную проекции этой точки, можно построить и профильную про­екцию с". По аналогии с этим, строим про­екции точек А, В и D. Проекции остальных точек 7, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 строим спосо­бом секущих плоскостей.

Чтобы построить горизонтальную про­екцию, например точки 7, проводим через неё секущую плоскость P, которая пересечёт пирамиду по пятиугольнику, подобному её основанию. Чтобы не затемнять чертежа по­строением пятиугольника, ограничимся одной из его сторон, проектирующейся на грань KETP. Пересечение контура сечения с го­ризонтальной проекцией ребра KP даст гори­зонтальную проекцию точки 1. Горизонталь­ные проекции точек 2, 3 определяются по аналогии, т. е. проведением через 2" и 3" плоскости R. Подобным образом произво­дится построение остальных точек. Имея го­ризонтальные и вертикальные проекции всех точек, нетрудно построить их профильные проекции. Законченное построение пирамиды приведено на фиг. 123. К изображениям в ортогональных проекциях добавлена аксонометрическая проекция этой пирамиды.

Пример 2. Построение в усечённом конусе вырезов,образованных четырьмя плоскостями, пересекающими поверхность конуса по основным кривым: окружности, эллипсу, параболе и гиперболе, приведено на фиг. 124. Горизонтальные проекции точек А и 1, лежащих на верти­кальной проекции линии контура конуса, легко определить без допол­нительных построений. Проекции остальных точек найдены проведением горизонтальных секущих плоскостей, обозначенных следами Pv,Rv и т. д.

Определив горизонтальные проекции точек, нетрудно построить их профильные проекции. Последовательное соединение проекций точек кривых сечения показано на фиг. 125. Там же даны размеры конуса. Рядом с ортогональными проекциями показан тот же конус в диметрической проекции.

>>Черчение: Проекции группы геометрических тел

Рассмотрим изображения чертежа группы геометрических тел, приведенные на рис. 120. Группа состоит из трех геометрических тел. Первое геометрическое тело (см. слева направо) на плоскостях проекций V и изображено равнобедренным треугольником , а на плоскости проекций Н - кругом. Такие проекции имеет только конус. Ось конуса перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций.

Второе геометрическое тело отобразилось на две плоскости проекций (Н, двумя прямоугольниками, а на фронтальную - кругом. Такие проекции присущи цилиндру, ось которого перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Третье геометрическое тело на все плоскости проекций отобразилось прямоугольниками. Значит, это прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны плоскостям проекций. Таким образом, можно прийти к выводу, что на чер¬теже представлена группа геометрических тел, составленная из конуса, цилиндра и параллелепипеда.

На фронтальной проекции группы геометрических тел проекция цилиндра закрывает часть проекции конуса. Это позволяет предположить, что цилиндр находится перед конусом . Предположение подтверждают и другие проекции. Передняя грань прямоугольного параллелепипеда лежит в одной плоскости с одним из оснований цилиндра - этот вывод можно сделать, рассмотрев горизонтальную проек-цию группы геометрических тел.

На основании анализа изображений приходим к выводу, что ближе к нам находятся параллелепипед и цилиндр, а конус расположен за ними (рис. 120). Так читают чертежи группы геометрических тел.

Вопросы и задания
1.Какие геометрические тела изображены на чертеже" (рис. 121)? Какое тело расположено ближе к нам? Какие тела касаются друг друга? Поочередно найдите все проекции каждого геометрического тела.
2.На рис. 122 представлен чертеж группы геометрических тел. Внимательно рассмотрите его и ответьте на вопросы:
- Сколько геометри ческих тел изображено на чертеже? Назовите их.

- Какие геометрические тела касаются друг друга? Как вы это определили?
- Есть ли на чертеже тела вращения ? Если есть, то назовите их.
- Что означает штриховая линия на виде слева? Что означают штрихпунктирные линии?
- Какие габаритные размеры имеет каждое геометрическое тело? Сделайте замеры на чертеже.
3. Используя чертеж, представленный на рис. 123, дочертите фронтальную проекцию и постройте профильную проекцию группы геометрических тел. Выполните ее технический рисунок.
4.На рис. 124 даны технические рисунки трех групп геометрических тел. Выполните чертеж одной из групп геометрических тел в системе трех проекций.

Н.А.Гордеенко, В.В.Степакова - Черчение.,9 класс
Отослано читателями из интернет-сайтов

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки