La superficie laterale del prisma. Ciao! In questa pubblicazione analizzeremo un gruppo di problemi di stereometria. Consideriamo una combinazione di corpi: un prisma e un cilindro. Al momento, questo articolo completa l'intera serie di articoli relativi alla considerazione dei tipi di compiti in stereometria.

Se ne compaiono di nuovi nella banca delle attività, ovviamente in futuro ci saranno aggiunte al blog. Ma quello che c'è già è abbastanza per imparare a risolvere tutti i problemi con una breve risposta come parte dell'esame. Ci sarà materiale sufficiente per gli anni a venire (il programma di matematica è statico).

I compiti presentati riguardano il calcolo dell'area di un prisma. Noto che di seguito consideriamo un prisma dritto (e, di conseguenza, un cilindro dritto).

Senza conoscere alcuna formula, capiamo che la superficie laterale di un prisma è costituita da tutte le sue facce laterali. Un prisma rettilineo ha le facce laterali rettangolari.

L'area della superficie laterale di un tale prisma è uguale alla somma delle aree di tutte le sue facce laterali (cioè dei rettangoli). Se stiamo parlando di un prisma regolare in cui è inscritto un cilindro, allora è chiaro che tutte le facce di questo prisma sono rettangoli UGUALI.

Formalmente, la superficie laterale di un prisma regolare può essere riflessa come segue:

27064. Un prisma quadrangolare regolare è circoscritto ad un cilindro il cui raggio di base e altezza sono uguali a 1. Trovare la superficie laterale del prisma.

La superficie laterale di questo prisma è costituita da quattro rettangoli di uguale area. L'altezza della faccia è 1, il bordo della base del prisma è 2 (questi sono due raggi del cilindro), quindi l'area della faccia laterale è pari a:

Superficie laterale:

73023. Trova la superficie laterale di un prisma triangolare regolare circoscritto ad un cilindro il cui raggio di base è √0,12 e altezza è 3.

L'area della superficie laterale di un dato prisma è uguale alla somma delle aree delle tre facce laterali (rettangoli). Per trovare l'area della faccia laterale, è necessario conoscere la sua altezza e la lunghezza del bordo di base. L'altezza è tre. Troviamo la lunghezza del bordo della base. Considera la proiezione (vista dall'alto):

Abbiamo un triangolo regolare in cui è inscritta una circonferenza di raggio √0,12. Dal triangolo rettangolo AOC troviamo AC. E poi d.C. (AD=2AC). Per definizione di tangente:

Ciò significa AD = 2AC = 1,2 Pertanto, l'area della superficie laterale è pari a:

27066. Trova la superficie laterale di un prisma esagonale regolare circoscritto ad un cilindro il cui raggio di base è √75 e altezza è 1.

L'area richiesta è pari alla somma delle aree di tutte le facce laterali. Un prisma esagonale regolare ha le facce laterali che sono rettangoli uguali.

Per trovare l'area di una faccia è necessario conoscere la sua altezza e la lunghezza del bordo di base. L'altezza è nota, è pari a 1.

Troviamo la lunghezza del bordo della base. Considera la proiezione (vista dall'alto):

Abbiamo un esagono regolare in cui è inscritta una circonferenza di raggio √75.

Consideriamo il triangolo rettangolo ABO. Conosciamo la gamba OB (questo è il raggio del cilindro). Possiamo anche determinare l'angolo AOB, è uguale a 300 (il triangolo AOC è equilatero, OB è una bisettrice).

Usiamo la definizione di tangente in un triangolo rettangolo:

AC = 2AB, poiché OB è la mediana, cioè divide AC a metà, il che significa AC = 10.

Pertanto, l'area della faccia laterale è 1∙10=10 e l'area della superficie laterale è:

76485. Trova la superficie laterale di un prisma triangolare regolare inscritto in un cilindro il cui raggio di base è 8√3 e altezza è 6.

L'area della superficie laterale del prisma specificato di tre facce di uguali dimensioni (rettangoli). Per trovare l'area, devi conoscere la lunghezza del bordo della base del prisma (conosciamo l'altezza). Se consideriamo la proiezione (vista dall'alto), abbiamo un triangolo regolare inscritto in un cerchio. Il lato di questo triangolo è espresso in termini di raggio come:

Dettagli di questa relazione. Quindi sarà uguale

Allora l'area della faccia laterale è: 24∙6=144. E l'area richiesta:

245354. Un prisma quadrangolare regolare è circoscritto ad un cilindro il cui raggio di base è 2. La superficie laterale del prisma è 48. Trova l'altezza del cilindro.

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Informazioni generali sul prisma diritto

Viene chiamata la superficie laterale di un prisma (più precisamente, la superficie laterale). somma aree delle facce laterali. La superficie totale del prisma è uguale alla somma della superficie laterale e delle aree delle basi.

Teorema 19.1. La superficie laterale di un prisma diritto è uguale al prodotto del perimetro della base per l'altezza del prisma, cioè alla lunghezza dello spigolo laterale.

Prova. Le facce laterali di un prisma rettilineo sono rettangoli. Le basi di questi rettangoli sono i lati del poligono giacente alla base del prisma, e le altezze sono pari alla lunghezza dei bordi laterali. Ne consegue che la superficie laterale del prisma è uguale a

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

dove a 1 e n sono le lunghezze dei bordi della base, p è il perimetro della base del prisma e I è la lunghezza dei bordi laterali. Il teorema è stato dimostrato.

Compito pratico

Problema (22) . In un prisma inclinato viene eseguito sezione, perpendicolare alle nervature laterali e intersecante tutte le nervature laterali. Trova la superficie laterale del prisma se il perimetro della sezione è uguale a p e gli spigoli laterali sono uguali a l.

Soluzione. Il piano della sezione disegnata divide il prisma in due parti (Fig. 411). Sottoponiamone uno a traslazione parallela, unendo le basi del prisma. In questo caso, otteniamo un prisma dritto, la cui base è la sezione trasversale del prisma originale, e i bordi laterali sono uguali a l. Questo prisma ha la stessa superficie laterale di quello originale. Pertanto, la superficie laterale del prisma originale è uguale a pl.

Generalizzazione dell'argomento trattato

Ora proviamo a riassumere l’argomento che abbiamo trattato sui prismi e ricordiamo quali proprietà ha un prisma.

Proprietà del prisma

Innanzitutto un prisma ha tutte le sue basi come poligoni uguali;
In secondo luogo, in un prisma tutte le sue facce laterali sono parallelogrammi;
In terzo luogo, in una figura così sfaccettata come un prisma, tutti i bordi laterali sono uguali;

Inoltre, va ricordato che i poliedri come i prismi possono essere diritti o inclinati.

Quale prisma è chiamato prisma diritto?

Se il bordo laterale di un prisma si trova perpendicolare al piano della sua base, tale prisma è chiamato dritto.

Non sarebbe superfluo ricordare che le facce laterali di un prisma rettilineo sono rettangoli.

Che tipo di prisma si chiama obliquo?

Ma se il bordo laterale del prisma non è perpendicolare al piano della sua base, allora possiamo tranquillamente dire che è un prisma inclinato.

Quale prisma è detto corretto?

Se un poligono regolare si trova alla base di un prisma rettilineo, allora tale prisma è regolare.

Ora ricordiamo le proprietà di un prisma regolare.

Proprietà di un prisma regolare

In primo luogo, i poligoni regolari servono sempre come basi di un prisma regolare;
In secondo luogo, se consideriamo le facce laterali di un prisma regolare, esse sono sempre rettangoli uguali;
In terzo luogo, se confrontiamo le dimensioni delle nervature laterali, in un prisma regolare sono sempre uguali.
In quarto luogo, un prisma corretto è sempre diritto;
In quinto luogo, se in un prisma regolare le facce laterali hanno la forma di quadrati, allora tale figura viene solitamente chiamata poligono semiregolare.

Sezione trasversale del prisma

Ora diamo un'occhiata alla sezione trasversale del prisma:

Compiti a casa

Ora proviamo a consolidare l'argomento che abbiamo imparato risolvendo i problemi.

Disegniamo un prisma triangolare inclinato, la distanza tra i suoi bordi sarà pari a: 3 cm, 4 cm e 5 cm, e la superficie laterale di questo prisma sarà pari a 60 cm2. Avendo questi parametri, trova il bordo laterale di questo prisma.

Sai che le figure geometriche ci circondano costantemente, non solo nelle lezioni di geometria, ma anche nella vita di tutti i giorni ci sono oggetti che assomigliano all'una o all'altra figura geometrica.

Tutti a casa, a scuola o al lavoro hanno un computer la cui unità di sistema ha la forma di un prisma diritto.

Se prendi una matita semplice, vedrai che la parte principale della matita è un prisma.

Camminando lungo la via centrale della città, vediamo che sotto i nostri piedi giace una piastrella che ha la forma di un prisma esagonale.

A. V. Pogorelov, Geometria per le classi 7-11, Libro di testo per istituzioni educative

Istruzioni

Il poligono che giace alla base può essere regolare, cioè con i lati tutti uguali, e irregolare. Se la base del prisma è regolare, la sua area può essere calcolata utilizzando la formula S = 1/2P*r, dove S è l'area, P è il poligono (la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati) e r è il raggio del cerchio inscritto nel poligono.

Puoi immaginare visivamente il raggio di un cerchio inscritto in un poligono regolare dividendo il poligono in parti uguali. L'altezza tracciata dal vertice di ciascun triangolo al lato del poligono che è la base del triangolo sarà il raggio del cerchio inscritto.

Se il poligono è irregolare, per calcolare l'area del prisma è necessario dividerlo in triangoli e trovare separatamente l'area di ciascun triangolo. Troviamo le aree dei triangoli utilizzando la formula S = 1/2bh, dove S è l'area del triangolo, b è il suo lato e h è l'altezza tracciata sul lato b. Una volta calcolate le aree di tutti i triangoli che compongono il poligono, basta sommare tali aree per ottenere l'area totale della base del prisma.

Video sull'argomento

Fonti:

• zona del prisma

In geometria un parallelepipedo è un numero tridimensionale formato da sei parallelogrammi (talvolta viene usato con questo significato anche il termine romboide).

Istruzioni

Nella geometria euclidea copre tutti e quattro i concetti (cioè parallelepipedo, parallelogramma, cubo e quadrato). In questo contesto della geometria, in cui gli angoli non sono differenziati, la sua definizione ammette solo parallelogramma e parallelepipedo. Tre definizioni equivalenti:
* poliedro con sei facce (), ciascuna delle quali è un parallelogramma,

* esagono con tre paia di bordi paralleli,

* un prisma, che è un parallelogramma.

Il volume di un parallelepipedo è la totalità dei valori della sua base - A e della sua altezza - H. La base è una delle sei facce del parallelepipedo. L'altezza è la distanza perpendicolare tra la base e il lato opposto.

Un metodo alternativo per determinare il volume di un parallelepipedo viene effettuato utilizzando i suoi vettori = (A1, A2, A3), b = (B1, B2, B3). Il volume del parallelepipedo è quindi uguale al valore assoluto di tre valori - a (b × c):
A = |b | |c | il grado di errore in questo caso è θ = |b × c |,

dove θ è l'angolo tra b e c e l'altezza

H = |a |, perché α,

dove α è l'angolo interno tra a e h.

Video sull'argomento

Molti oggetti reali hanno la forma di un parallelepipedo. Esempi sono la stanza e la piscina. Parti con questa forma non sono rare nell'industria. Per questo motivo spesso si presenta il compito di trovare il volume di una determinata cifra.

Istruzioni

Un parallelepipedo è un prisma la cui base è un parallelogramma. Un parallelepipedo ha facce: tutti i piani che formano questa figura. Ha un totale di sei facce, tutte parallelogrammi. I suoi lati opposti sono uguali e paralleli tra loro. Inoltre, ha diagonali che si intersecano in un punto e si bisecano in quel punto.

Due tipi di parallelepipedo. Per il primo, tutte le facce sono parallelogrammi, mentre per il secondo sono rettangoli. L'ultimo di essi è chiamato parallelepipedo rettangolare. Tutte le sue facce sono rettangolari e le facce laterali sono perpendicolari alla base. Se un oggetto rettangolare ha facce quadrate, viene chiamato cubo. In questo caso, i suoi volti e . Uno spigolo è un lato di qualsiasi poliedro, che include un parallelepipedo.

Per soddisfare le condizioni del compito. Un parallelepipedo ordinario ha alla base un parallelogramma, mentre uno rettangolare ha un rettangolo o un quadrato, che ha sempre gli angoli retti. Se un parallelogramma si trova alla base di un parallelepipedo, il suo volume si trova come segue:
V=S*H, dove S è l'area di base, H è l'altezza del parallelepipedo
L'altezza di un parallelepipedo è solitamente il suo bordo laterale. Alla base di un parallelepipedo può esserci anche un parallelogramma che non sia un rettangolo. Dal percorso di planimetria sappiamo che l'area di un parallelogramma è pari a:
S=a*h, dove h è l'altezza del parallelogramma, a è la lunghezza della base, cioè :
V=a*cv*H

Se si verifica il secondo caso, quando la base del parallelepipedo è un rettangolo, allora il volume si calcola utilizzando la stessa formula, ma l'area della base si trova in modo leggermente diverso:
V=S*H,
S=a*b, dove aeb sono rispettivamente i lati del rettangolo e gli spigoli del parallelepipedo.
V=a*b*H

Per trovare il volume di un cubo, dovresti usare semplici metodi logici. Poiché tutte le facce e gli spigoli del cubo sono uguali e la base del cubo è un quadrato, utilizzando le formule sopra riportate, possiamo ricavare la seguente formula:
V=a^3

Un parallelepipedo in geometria è un numero tridimensionale formato da sei parallelogrammi. La forma del parallelepipedo la si ritrova ovunque; la maggior parte degli oggetti moderni ce l'hanno. Quindi, ad esempio, alberghi ed edifici residenziali, camere e piscine, ecc. Anche molte parti industriali hanno questa forma, motivo per cui spesso si pone il compito di trovare il volume di una determinata figura.

Istruzioni

Esiste però anche un secondo tipo di parallelepipedo, in cui tutte le facce sono rettangolari, e quelle laterali si trovano perpendicolari alla base. Un parallelepipedo di questo tipo si chiama rettangolare. Dovresti sapere che i lati opposti parallelepipedo sono uguali tra loro, e anche questa figura ha delle diagonali che si intersecano in un punto, il che le divide a metà.

Decidi il volume di quale parallelepipedo (ordinario o rettangolare) dovresti conoscere.

Se il parallelepipedo è ordinario (alla base c'è un parallelogramma). Scopri l'area di base e l'altezza della tua figura. Calcola il volume del parallelepipedo; di regola, l'altezza del parallelepipedo è il bordo laterale della figura.

Oltre al metodo indicato, puoi scoprire il volume di un parallelepipedo nel modo seguente. Scopri la zona. Per fare ciò, esegui i calcoli utilizzando la formula seguente S=a*h, dove h in questa formula è l'altezza della figura ed è la lunghezza della base del parallelogramma.

Trova il volume del parallelepipedo utilizzando la formula V=a*hp*H, dove p nella formula è il perimetro della base della figura. Se nel problema ti viene assegnato un parallelepipedo rettangolare, puoi trovare il volume utilizzando la stessa formula: V=S*H.

Tuttavia, l'area della base della figura sarà la seguente: S=a*b, dove aeb nella formula sono i lati del rettangolo e, di conseguenza, i bordi del parallelepipedo. Trova il volume della figura utilizzando la formula V=a*b*H.

Video sull'argomento

Suggerimento 5: Come trovare il volume di un parallelepipedo passante per la base

Per parallelepipedo intendiamo una figura geometrica tridimensionale, un poliedro, le cui facce base e laterali sono parallelogrammi. La base di un parallelepipedo è il quadrilatero su cui “giace” visivamente questo poliedro. Trovare il volume di un parallelepipedo attraverso la sua base è molto semplice.

Istruzioni

Come accennato in precedenza, la base del parallelepipedo. Per trovare un parallelepipedo è necessario scoprire l'area del parallelogramma che si trova alla base. Per questo, a seconda dei dati, esistono diverse formule:

S = a*h, dove a è il lato del parallelogramma, h è l'altezza tracciata su questo lato m;

S = a*b*sinα, dove a e b sono i lati del parallelogramma, α è l'angolo compreso tra questi lati.

Esempio 1: Dato un parallelogramma, uno dei suoi lati è 15 cm, la lunghezza dell'altezza tracciata su questo lato è 10 cm Quindi, per trovare l'area di questa figura sul piano, la prima delle due si utilizzano le formule sopra indicate:

S = 10*15 = 150 cm²

Risposta: L'area di un parallelogramma è 150 cm²

Ora, dopo aver capito come trovare l'area di un parallelogramma, puoi iniziare a trovare il volume di un parallelepipedo. può essere trovato utilizzando la formula:

V = S*h, dove h è l'altezza di questo parallelepipedo, S è l'area della sua base, la cui posizione è stata discussa sopra.

Puoi considerare un esempio che includa il problema risolto sopra:

L'area di base del parallelogramma è di 150 cm², la sua altezza è, diciamo, di 40 cm, devi trovare il volume di questo parallelepipedo. Questo problema viene risolto utilizzando la formula sopra:

V = 150*40 = 6000 cm³

Una delle varietà di parallelepipedo è un parallelepipedo rettangolare, le cui facce laterali e base sono rettangoli. Trovare il volume di questa figura è ancora più semplice che trovare il volume di un parallelepipedo regolare, la cui determinazione del volume è stata discussa sopra:

V = a*b*c, dove a, b, c sono la lunghezza, la larghezza e l'altezza di questo parallelepipedo.

Esempio: Per un parallelepipedo rettangolare, la lunghezza e la larghezza della base sono 12 cm e 14 cm, la lunghezza della faccia laterale (altezza) è 14 cm, è necessario calcolare il volume della figura. Il problema si risolve in questo modo:

V = 12*14*14 = 2352 cm³

Risposta: il volume di un parallelepipedo rettangolare è 2352 cm³

Un parallelepipedo è un prisma (poliedro) con alla base un parallelogramma. Un parallelepipedo ha sei lati, anch'essi parallelogrammi. Esistono diversi tipi di parallelepipedo: rettangolare, dritto, inclinato e cubo.

Istruzioni

Un parallelepipedo retto le cui quattro facce laterali sono rettangoli. Per calcolare è necessario moltiplicare l'area della base per l'altezza - V=Sh. Supponiamo che la base della retta sia un parallelogramma. Quindi l'area della base sarà uguale al prodotto del suo lato per l'altezza tracciata su questo lato - S=ac. Allora V=ach.

Un parallelepipedo rettangolare è un parallelepipedo le cui sei facce sono tutte rettangoli. Esempi: , scatola di fiammiferi. Per fare ciò è necessario moltiplicare l'area della base per l'altezza - V=Sh. L'area della base in questo caso è l'area del rettangolo, cioè il prodotto dei valori dei suoi due lati - S=ab, dove a è la larghezza, b è la lunghezza. Quindi, otteniamo il volume richiesto: V=abh.

Un parallelepipedo inclinato è un parallelepipedo le cui facce laterali non sono perpendicolari alle facce di base. In questo caso il volume è pari al prodotto dell'area della base e dell'altezza - V=Sh. L'altezza di un parallelepipedo inclinato è un segmento perpendicolare disceso da un qualsiasi vertice superiore al lato corrispondente della base della faccia laterale (cioè all'altezza di una qualsiasi faccia laterale).

Un cubo è un parallelepipedo retto in cui tutti gli spigoli sono uguali e tutte e sei le facce sono quadrate. Il volume è pari al prodotto dell'area della base e dell'altezza - V=Sh. La base è un quadrato, l'area della base è uguale al prodotto dei suoi due lati, cioè alla misura del lato al quadrato. L'altezza del cubo ha lo stesso valore, quindi in questo caso il volume sarà il valore dello spigolo del cubo elevato alla terza potenza - V=a³.

Nota

Le basi di un parallelepipedo sono sempre parallele tra loro, questo consegue dalla definizione di prisma.

Consigli utili

Le dimensioni di un parallelepipedo sono le lunghezze dei suoi bordi.

Il volume è sempre uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza del parallelepipedo.

Il volume di un parallelepipedo inclinato può essere calcolato come il prodotto della dimensione dello spigolo laterale e dell'area della sezione ad esso perpendicolare.

Un parallelepipedo è un caso particolare di prisma. La sua caratteristica distintiva risiede nella forma quadrangolare di tutte le facce, nonché nel parallelismo di ciascuna coppia di piani uno di fronte all'altro. Esiste una formula generale per calcolare il volume contenuto all'interno di questa figura, nonché diverse versioni semplificate per casi speciali di tale esagono.

Istruzioni

Inizia calcolando l'area di base (S) del parallelepipedo. I lati opposti del quadrilatero che forma questo piano della figura volumetrica devono, per definizione, essere paralleli e l'angolo tra loro può essere qualsiasi. Pertanto, determina l'area della faccia moltiplicando le lunghezze dei suoi due bordi adiacenti (a e b) per l'angolo (?) tra di loro: S=a*b*sin(?).

Moltiplicare il valore risultante per la lunghezza del bordo del parallelepipedo (c) che forma un angolo tridimensionale comune con i lati a e b. Poiché la faccia laterale a cui appartiene questo spigolo, per definizione, non deve essere perpendicolare al parallelepipedo, moltiplicare il valore calcolato per il seno dell'angolo di inclinazione (?) della faccia laterale: V=S*c* peccato(?). In generale, la formula per calcolare un parallelepipedo arbitrario può essere scritta come segue: V=a*b*c*sin(?)*sin(?). Ad esempio, supponiamo che alla base di un parallelepipedo ci sia una faccia i cui spigoli abbiano lunghezza 15 e 25 e l'angolo tra loro sia di 30°, e le facce laterali siano inclinate di 40° e abbiano uno spigolo lungo 20 cm. Allora questa cifra sarà uguale a 15*25*20*sin(30°)*sin(40°)? 7500*0,5*0,643 ? 2411,25 centimetri?.

Se è necessario calcolare il volume di un parallelepipedo rettangolare, la formula può essere notevolmente semplificata. Dato che il seno di 90° è uguale a uno, è possibile eliminare dalla formula le correzioni per gli angoli, il che significa che basterà moltiplicare le lunghezze di tre lati adiacenti del parallelepipedo: V=a*b* C. Ad esempio, per una figura con le lunghezze dei bordi utilizzate nell'esempio del passaggio precedente, il volume sarà 15 * 25 * 20 = 7500 cm?.

Una formula ancora più semplice è per calcolare il volume di un cubo: un parallelepipedo rettangolare, i cui bordi hanno tutti la stessa lunghezza. Cubiamo la lunghezza di questo bordo (a) per ottenere il valore desiderato: V=a?. Ad esempio, un parallelepipedo rettangolare, la cui lunghezza di tutti i bordi è pari a 15 cm, avrà un volume di 153 = 3375 cm?.

Video sull'argomento

Un cuboide è un prisma, le cui facce sono tutte formate da rettangoli. Le sue facce opposte sono uguali e parallele, e gli angoli formati dall'intersezione di due facce sono retti. Trovare il volume di un parallelepipedo rettangolare è molto semplice.

Avrai bisogno

• Lunghezza, larghezza e altezza di un parallelepipedo rettangolare.

Istruzioni

Innanzitutto va notato che le facce che compongono questa tipologia sono rettangoli. La sua area si trova moltiplicando tra loro una coppia di lati. In altre parole, sia a la lunghezza del rettangolo e b la sua larghezza. Quindi la sua area verrà calcolata come a*b.

Sulla base di ciò, diventa ovvio che tutte le facce opposte sono uguali tra loro. Questo vale anche per la base, il volto su cui “poggia” la figura.

L'altezza di un parallelepipedo rettangolo è la lunghezza del parallelepipedo laterale. L'altezza rimane un valore costante, questo risulta chiaramente dalla definizione di parallelepipedo rettangolare. Ora, per utilizzare la formula, questo può essere espresso come segue:
V = a*b*c = S*c, dove c è l'altezza.

Nonostante la semplicità del calcolo, dobbiamo considerare un esempio:
Supponiamo che ti venga dato un parallelepipedo rettangolare, la lunghezza e la larghezza della base sono 9 e 7 cm e l'altezza è 17 cm, devi trovare il volume della figura. Il primo passo è scoprire l'area di base di questo parallelepipedo: 9*7 = 63 cmq
Successivamente, il valore calcolato viene moltiplicato per l'altezza: 63*17 = 1071 cc
Risposta: Il volume di un parallelepipedo rettangolare è 1071 cc

Video sull'argomento

Nota

La lunghezza, la larghezza e l'altezza di un parallelepipedo rettangolare sono detti parametri. Se in un parallelepipedo rettangolare tutti i parametri sono uguali, la figura sarà un cubo. In base alla definizione, in un cubo ogni faccia è un quadrato. Pertanto, il volume di un tale parallelepipedo viene determinato elevando il valore della faccia alla terza potenza:
S = a³

Prismaè un poliedro le cui due facce sono n-angoli uguali (basi) , che giacciono su piani paralleli, e le rimanenti n facce sono parallelogrammi (facce laterali) . Nervatura laterale di un prisma è il lato della faccia laterale che non appartiene alla base.

Si chiama prisma i cui bordi laterali sono perpendicolari ai piani delle basi Dritto prisma (Fig. 1). Se i bordi laterali non sono perpendicolari ai piani delle basi, allora si chiama prisma inclinato . Corretto Un prisma è un prisma retto le cui basi sono poligoni regolari.

Altezza prisma è la distanza tra i piani delle basi. Diagonale Un prisma è un segmento che collega due vertici che non appartengono alla stessa faccia. Sezione diagonale si chiama sezione di un prisma mediante un piano passante per due spigoli laterali che non appartengono alla stessa faccia. Sezione perpendicolare si chiama sezione di un prisma lungo un piano perpendicolare al bordo laterale del prisma.

Superficie laterale di un prisma è la somma delle aree di tutte le facce laterali. Superficie totale è detta somma delle aree di tutte le facce del prisma (cioè somma delle aree delle facce laterali e delle aree delle basi).

Per un prisma arbitrario valgono le seguenti formule::

Dove l– lunghezza della costa laterale;

H- altezza;

P

Q

Lato S

S pieno

Fondo S– area delle basi;

V– volume del prisma.

Per un prisma diritto valgono le seguenti formule:

Dove P– perimetro di base;

l– lunghezza della costa laterale;

H- altezza.

parallelepipedo chiamato prisma la cui base è un parallelogramma. Si dice un parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari alle basi diretto (Fig. 2). Se gli spigoli laterali non sono perpendicolari alle basi si chiama parallelepipedo inclinato . Un parallelepipedo retto la cui base è un rettangolo si chiama rettangolare. Si chiama parallelepipedo rettangolare con tutti gli spigoli uguali cubo

Le facce di un parallelepipedo che non hanno vertici in comune si chiamano opposto . Vengono chiamate le lunghezze degli spigoli che partono da un vertice misurazioni parallelepipedo. Poiché un parallelepipedo è un prisma, i suoi elementi principali sono definiti allo stesso modo in cui sono definiti per i prismi.

Teoremi.

1. Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e ne sono secate in due.

2. In un parallelepipedo rettangolare, il quadrato della lunghezza della diagonale è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni:

3. Tutte e quattro le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali tra loro.

Per un parallelepipedo qualunque valgono le seguenti formule:

Dove l– lunghezza della costa laterale;

H- altezza;

P– perimetro della sezione perpendicolare;

Q– Area della sezione trasversale perpendicolare;

Lato S– superficie laterale;

S pieno– superficie totale;

Fondo S– area delle basi;

V– volume del prisma.

Per un parallelepipedo retto sono corrette le seguenti formule:

Dove P– perimetro di base;

l– lunghezza della costa laterale;

H– altezza di un parallelepipedo retto.

Per un parallelepipedo rettangolare sono corrette le seguenti formule:

(3)

Dove P– perimetro di base;

H- altezza;

D– diagonale;

a, b, c– misure di un parallelepipedo.

Le seguenti formule sono corrette per un cubo:

Dove UN– lunghezza della costola;

D- diagonale del cubo.

Esempio 1. La diagonale di un parallelepipedo rettangolare è 33 dm e le sue dimensioni sono nel rapporto 2: 6: 9. Trova le dimensioni del parallelepipedo.

Soluzione. Per trovare le dimensioni del parallelepipedo usiamo la formula (3), cioè dal fatto che il quadrato dell'ipotenusa di un cuboide è uguale alla somma dei quadrati delle sue dimensioni. Indichiamo con K fattore di proporzionalità. Allora le dimensioni del parallelepipedo saranno pari a 2 K, 6K e 9 K. Scriviamo la formula (3) per i dati del problema:

Risolvere questa equazione per K, noi abbiamo:

Ciò significa che le dimensioni del parallelepipedo sono 6 dm, 18 dm e 27 dm.

Risposta: 6 DM, 18 DM, 27 DM.

Esempio 2. Trova il volume di un prisma triangolare inclinato, la cui base è un triangolo equilatero con un lato di 8 cm, se il bordo laterale è uguale al lato della base ed è inclinato di un angolo di 60º rispetto alla base.

Soluzione . Facciamo un disegno (Fig. 3).

Per trovare il volume di un prisma inclinato, devi conoscere l'area della sua base e della sua altezza. L'area della base di questo prisma è l'area di un triangolo equilatero con il lato di 8 cm.

L'altezza di un prisma è la distanza tra le sue basi. Dall'alto UN 1 della base superiore, abbassare la perpendicolare al piano della base inferiore UN 1 D. La sua lunghezza sarà l'altezza del prisma. Consideriamo D UN 1 ANNO DOMINI: poiché questo è l'angolo di inclinazione del bordo laterale UN 1 UN al piano base, UN 1 UN= 8 cm Da questo triangolo troviamo UN 1 D:

Ora calcoliamo il volume utilizzando la formula (1):

Risposta: 192 cm3.

Esempio 3. Lo spigolo laterale di un prisma esagonale regolare è 14 cm L'area della sezione diagonale maggiore è 168 cm 2. Trova la superficie totale del prisma.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 4)

La sezione diagonale più grande è un rettangolo AA. 1 GG 1 dalla diagonale ANNO DOMINI esagono regolare A B C D E Fè il più largo. Per calcolare la superficie laterale del prisma è necessario conoscere il lato della base e la lunghezza del bordo laterale.

Conoscendo l'area della sezione diagonale (rettangolo), troviamo la diagonale della base.

Da allora

Da allora AB= 6cm.

Allora il perimetro della base è:

Troviamo l'area della superficie laterale del prisma:

L'area di un esagono regolare di lato 6 cm è:

Trova la superficie totale del prisma:

Risposta:

Esempio 4. La base di un parallelepipedo retto è un rombo. Le aree della sezione trasversale diagonale sono 300 cm2 e 875 cm2. Trova l'area della superficie laterale del parallelepipedo.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 5).

Indichiamo il lato del rombo con UN, diagonali di un rombo D 1 e D 2, altezza parallelepipedo H. Per trovare l'area della superficie laterale di un parallelepipedo retto, è necessario moltiplicare il perimetro della base per l'altezza: (formula (2)). Perimetro di base p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, Perché ABCD- rombo N = AA 1 = H. Quello. Ho bisogno di trovare UN E H.

Consideriamo le sezioni diagonali. aa 1 SS 1 – un rettangolo, un lato del quale è la diagonale di un rombo AC = D 1, secondo – bordo laterale aa 1 = H, Poi

Allo stesso modo per la sezione BB 1 GG 1 otteniamo:

Utilizzando la proprietà di un parallelogramma tale che la somma dei quadrati delle diagonali è uguale alla somma dei quadrati di tutti i suoi lati, otteniamo l'uguaglianza. Otteniamo quanto segue.