Diseguaglianze logaritmiche e metodi per risolverle. Disuguaglianze logaritmiche. Come risolvere le disuguaglianze logaritmiche

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Una disuguaglianza si dice logaritmica se contiene una funzione logaritmica.

I metodi per risolvere le disuguaglianze logaritmiche non sono diversi da, tranne che per due cose.

In primo luogo, quando si passa dalla disuguaglianza logaritmica alla disuguaglianza delle funzioni sublogaritmiche, si dovrebbe seguire il segno della disuguaglianza risultante. Obbedisce alla seguente regola.

Se la base della funzione logaritmica è maggiore di $ 1 $, quando si passa dalla disuguaglianza logaritmica alla disuguaglianza delle funzioni sublogaritmiche, il segno della disuguaglianza viene conservato, ma se è inferiore a $ 1 $, cambia al contrario .

In secondo luogo, la soluzione a qualsiasi disuguaglianza è un intervallo e, quindi, al fine di risolvere la disuguaglianza delle funzioni sublogaritmiche è necessario creare un sistema di due disuguaglianze: la prima disuguaglianza di questo sistema sarà la disuguaglianza delle funzioni sublogaritmiche, e il secondo sarà l'intervallo del dominio di definizione delle funzioni logaritmiche comprese nella disuguaglianza logaritmica.

Pratica.

Risolviamo le disuguaglianze:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

La base del logaritmo è $2>1$, quindi il segno non cambia. Usando la definizione di logaritmo, otteniamo:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x\in\)

Molto importante! In qualsiasi disuguaglianza, la transizione dalla forma $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ al confronto di espressioni sotto logaritmi può essere eseguita solo se:

Esempio . Risolvi la disuguaglianza: $\log$$≤-1$

Soluzione:

$\tronco d'albero$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Scriviamo l'ODZ.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Apriamo le parentesi e portiamo .
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Moltiplichiamo la disuguaglianza per $-1$, senza dimenticare di invertire il segno di confronto.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Costruiamo una linea numerica e segniamo i punti $\frac(7)(3)$ e $\frac(3)(2)$ su di essa. Tieni presente che il punto viene rimosso dal denominatore, nonostante la disuguaglianza non sia stretta. Il fatto è che questo punto non sarà una soluzione, poiché, sostituito alla disuguaglianza, ci porterà alla divisione per zero.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Ora tracciamo l'ODZ sullo stesso asse numerico e scriviamo in risposta l'intervallo che rientra nell'ODZ.
	Scriviamo la risposta finale.

Risposta: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Esempio . Risolvi la disuguaglianza: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Soluzione:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Scriviamo l'ODZ.
ODZ: $x>0$	Arriviamo alla soluzione.
Soluzione: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Qui abbiamo una tipica disuguaglianza logaritmica quadrata. Facciamolo.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Espandiamo il lato sinistro della disuguaglianza in .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Ora dobbiamo tornare alla variabile originale - x. Per fare ciò, andiamo a , che ha la stessa soluzione, ed effettuiamo la sostituzione inversa.
$\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Trasforma $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Passiamo al confronto degli argomenti. Le basi dei logaritmi sono maggiori di $1$, quindi il segno delle disuguaglianze non cambia.
$\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Combiniamo la soluzione alla disuguaglianza e all'ODZ in un'unica figura.
	Scriviamo la risposta.

Risposta: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

Pensi che ci sia ancora tempo prima dell'Esame di Stato Unificato e avrai tempo per prepararti? Forse è così. Ma in ogni caso, prima lo studente inizia la preparazione, più con successo supera gli esami. Oggi abbiamo deciso di dedicare un articolo alle disuguaglianze logaritmiche. Questo è uno dei compiti, il che significa un'opportunità per ottenere credito extra.

Sai già cos'è un logaritmo? Lo speriamo davvero. Ma anche se non hai una risposta a questa domanda, non è un problema. Capire cos'è un logaritmo è molto semplice.

Perché 4? È necessario elevare il numero 3 a questa potenza per ottenere 81. Una volta compreso il principio si può procedere a calcoli più complessi.

Hai attraversato le disuguaglianze qualche anno fa. E da allora li hai costantemente incontrati in matematica. Se hai problemi a risolvere le disuguaglianze, consulta la sezione apposita.
Ora che abbiamo acquisito familiarità con i concetti singolarmente, passiamo a considerarli in generale.

La disuguaglianza logaritmica più semplice.

Le disuguaglianze logaritmiche più semplici non si limitano a questo esempio; ce ne sono altre tre, solo con segni diversi. Perché è necessario? Per comprendere meglio come risolvere le disuguaglianze con i logaritmi. Ora diamo un esempio più applicabile, ancora abbastanza semplice, lasceremo le disuguaglianze logaritmiche complesse per dopo.

Come risolvere questo problema? Tutto inizia con ODZ. Vale la pena saperne di più se vuoi risolvere sempre facilmente qualsiasi disuguaglianza.

Cos'è l'ODZ? ODZ per disuguaglianze logaritmiche

L'abbreviazione indica l'intervallo di valori accettabili. Questa formulazione compare spesso nei compiti per l'Esame di Stato Unificato. ODZ ti sarà utile non solo nel caso di disuguaglianze logaritmiche.

Guarda di nuovo l'esempio sopra. Considereremo l'ODZ sulla base di esso, in modo che tu possa comprendere il principio e risolvere le disuguaglianze logaritmiche non solleva domande. Dalla definizione di logaritmo segue che 2x+4 deve essere maggiore di zero. Nel nostro caso ciò significa quanto segue.

Questo numero, per definizione, deve essere positivo. Risolvi la disuguaglianza presentata sopra. Questo può essere fatto anche oralmente; qui è chiaro che X non può essere inferiore a 2. La soluzione della disuguaglianza sarà la definizione dell'intervallo di valori accettabili.
Passiamo ora alla risoluzione della disuguaglianza logaritmica più semplice.

Scartiamo i logaritmi stessi da entrambi i lati della disuguaglianza. Cosa ci lascia questo? Disuguaglianza semplice.

Non è difficile da risolvere. X deve essere maggiore di -0,5. Ora combiniamo i due valori ottenuti in un sistema. Così,

Questo sarà l'intervallo di valori accettabili per la disuguaglianza logaritmica in esame.

Perché abbiamo bisogno dell'ODZ? Questa è un’opportunità per eliminare le risposte errate e impossibili. Se la risposta non rientra nell'intervallo di valori accettabili, semplicemente non ha senso. Vale la pena ricordarlo a lungo, poiché nell'Esame di Stato Unificato è spesso necessario cercare ODZ, e riguarda non solo le disuguaglianze logaritmiche.

Algoritmo per la risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche

La soluzione si compone di diverse fasi. Innanzitutto, è necessario trovare l'intervallo di valori accettabili. Ci saranno due valori nell'ODZ, ne abbiamo discusso sopra. Successivamente dobbiamo risolvere la disuguaglianza stessa. I metodi risolutivi sono i seguenti:

metodo di sostituzione del moltiplicatore;
decomposizione;
metodo di razionalizzazione.

A seconda della situazione, vale la pena utilizzare uno dei metodi sopra indicati. Passiamo direttamente alla soluzione. Riveliamo il metodo più popolare, adatto a risolvere i compiti dell'esame di stato unificato in quasi tutti i casi. Successivamente esamineremo il metodo di scomposizione. Può essere d’aiuto se ti imbatti in una disuguaglianza particolarmente complessa. Quindi, un algoritmo per risolvere la disuguaglianza logaritmica.

Esempi di soluzioni :

Non per niente abbiamo preso proprio questa disuguaglianza! Presta attenzione alla base. Ricorda: se è maggiore di uno, il segno rimane lo stesso quando si trova l'intervallo di valori accettabili; altrimenti è necessario cambiare il segno di disuguaglianza.

Di conseguenza, otteniamo la disuguaglianza:

Ora riduciamo il lato sinistro alla forma dell'equazione uguale a zero. Al posto del segno “minore” mettiamo “uguale” e risolviamo l’equazione. Quindi troveremo l'ODZ. Ci auguriamo che non avrai problemi a risolvere un'equazione così semplice. Le risposte sono -4 e -2. Non è tutto. È necessario visualizzare questi punti sul grafico, posizionando “+” e “-”. Cosa è necessario fare per questo? Sostituisci i numeri degli intervalli nell'espressione. Dove i valori sono positivi, inseriamo "+".

Risposta: x non può essere maggiore di -4 e minore di -2.

Abbiamo trovato l'intervallo di valori accettabili solo per il lato sinistro, ora dobbiamo trovare l'intervallo di valori accettabili per il lato destro; Questo è molto più semplice. Risposta: -2. Intersechiamo entrambe le aree risultanti.

E solo ora stiamo iniziando ad affrontare la disuguaglianza stessa.

Semplifichiamolo il più possibile per renderlo più semplice da risolvere.

Utilizziamo nuovamente il metodo dell'intervallo nella soluzione. Tralasciamo i calcoli, è già tutto chiaro dall'esempio precedente. Risposta.

Ma questo metodo è adatto se la disuguaglianza logaritmica ha le stesse basi.

La risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche con basi diverse richiede una riduzione iniziale alla stessa base. Successivamente, utilizzare il metodo sopra descritto. Ma c’è un caso più complicato. Consideriamo uno dei tipi più complessi di disuguaglianze logaritmiche.

Disuguaglianze logaritmiche a base variabile

Come risolvere disuguaglianze con tali caratteristiche? Sì, e queste persone possono essere trovate nell'Esame di Stato Unificato. Risolvere le disuguaglianze nel modo seguente avrà anche un effetto benefico sul tuo processo educativo. Esaminiamo la questione in dettaglio. Scartiamo la teoria e passiamo direttamente alla pratica. Per risolvere le disuguaglianze logaritmiche, è sufficiente familiarizzare con l'esempio una volta.

Per risolvere una disuguaglianza logaritmica della forma presentata, è necessario ridurre il membro di destra ad un logaritmo con la stessa base. Il principio ricorda le transizioni equivalenti. Di conseguenza, la disuguaglianza sarà simile a questa.

In realtà, non resta che creare un sistema di disuguaglianze senza logaritmi. Utilizzando il metodo della razionalizzazione, passiamo a un sistema equivalente di disuguaglianze. Capirai la regola stessa quando sostituirai i valori appropriati e monitorerai le loro modifiche. Il sistema avrà le seguenti disuguaglianze.

Quando si utilizza il metodo di razionalizzazione per risolvere le disuguaglianze, è necessario ricordare quanto segue: uno deve essere sottratto dalla base, x, per definizione di logaritmo, viene sottratto da entrambi i lati della disuguaglianza (destra da sinistra), due espressioni vengono moltiplicate e posto sotto il segno originario rispetto allo zero.

Un'ulteriore soluzione viene eseguita utilizzando il metodo dell'intervallo, qui tutto è semplice. È importante che tu comprenda le differenze nei metodi di soluzione, quindi tutto inizierà a funzionare facilmente.

Ci sono molte sfumature nelle disuguaglianze logaritmiche. I più semplici sono abbastanza facili da risolvere. Come puoi risolverli ciascuno senza problemi? Hai già ricevuto tutte le risposte in questo articolo. Adesso hai una lunga pratica davanti a te. Esercitati costantemente a risolvere una serie di problemi durante l'esame e sarai in grado di ottenere il punteggio più alto. Buona fortuna a te per il tuo difficile compito!

Disuguaglianze logaritmiche

Nelle lezioni precedenti abbiamo conosciuto le equazioni logaritmiche e ora sappiamo cosa sono e come risolverle. La lezione di oggi sarà dedicata allo studio delle disuguaglianze logaritmiche. Quali sono queste disuguaglianze e qual è la differenza tra risolvere un'equazione logaritmica e una disuguaglianza?

Le disuguaglianze logaritmiche sono disuguaglianze che hanno una variabile che appare sotto il segno del logaritmo o alla sua base.

Oppure possiamo anche dire che una disuguaglianza logaritmica è una disuguaglianza in cui il suo valore incognito, come in un'equazione logaritmica, apparirà sotto il segno del logaritmo.

Le disuguaglianze logaritmiche più semplici hanno la seguente forma:

dove f(x) e g(x) sono alcune espressioni che dipendono da x.

Consideriamolo utilizzando questo esempio: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche

Prima di risolvere le disuguaglianze logaritmiche, vale la pena notare che una volta risolte sono simili alle disuguaglianze esponenziali, vale a dire:

Innanzitutto, quando si passa dai logaritmi alle espressioni sotto il segno del logaritmo, bisogna confrontare anche la base del logaritmo con uno;

In secondo luogo, quando risolviamo una disuguaglianza logaritmica utilizzando un cambiamento di variabili, dobbiamo risolvere le disuguaglianze rispetto alla variazione finché non otteniamo la disuguaglianza più semplice.

Ma tu ed io abbiamo considerato aspetti simili nella risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche. Ora prestiamo attenzione ad una differenza piuttosto significativa. Tu ed io sappiamo che la funzione logaritmica ha un dominio di definizione limitato, pertanto, quando si passa dai logaritmi alle espressioni sotto il segno logaritmico, dobbiamo tenere conto dell'intervallo di valori consentiti (ADV).

Cioè, si dovrebbe tenere conto del fatto che quando si risolve un'equazione logaritmica, tu ed io possiamo prima trovare le radici dell'equazione e quindi verificare questa soluzione. Ma risolvere una disuguaglianza logaritmica non funzionerà in questo modo, poiché passando dai logaritmi alle espressioni sotto il segno dei logaritmi, sarà necessario scrivere l'ODZ della disuguaglianza.

Inoltre, vale la pena ricordare che la teoria delle disuguaglianze è composta da numeri reali, che sono numeri positivi e negativi, oltre al numero 0.

Ad esempio, quando il numero “a” è positivo, è necessario utilizzare la seguente notazione: a >0. In questo caso anche la somma e il prodotto di questi numeri saranno positivi.

Il principio fondamentale per risolvere una disuguaglianza è sostituirla con una disuguaglianza più semplice, ma la cosa principale è che sia equivalente a quella data. Inoltre, abbiamo ottenuto anche una disuguaglianza e l'abbiamo nuovamente sostituita con una di forma più semplice, ecc.

Quando risolvi le disuguaglianze con una variabile, devi trovare tutte le sue soluzioni. Se due disuguaglianze hanno la stessa variabile x, allora tali disuguaglianze sono equivalenti, purché le loro soluzioni coincidano.

Quando si eseguono compiti sulla risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche, è necessario ricordare che quando a > 1, la funzione logaritmica aumenta e quando 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metodi per risolvere le disuguaglianze logaritmiche

Ora diamo un'occhiata ad alcuni dei metodi utilizzati per risolvere le disuguaglianze logaritmiche. Per una migliore comprensione e assimilazione, cercheremo di capirli utilizzando esempi specifici.

Sappiamo tutti che la disuguaglianza logaritmica più semplice ha la seguente forma:

In questa disuguaglianza, V – è uno dei seguenti segni di disuguaglianza:<,>, ≤ o ≥.

Quando la base di un dato logaritmo è maggiore di uno (a>1), effettuando la transizione dai logaritmi alle espressioni sotto il segno del logaritmo, in questa versione il segno di disuguaglianza viene preservato e la disuguaglianza avrà la seguente forma:

che è equivalente a questo sistema:

Nel caso in cui la base del logaritmo sia maggiore di zero e minore di uno (0

Questo è equivalente a questo sistema:

Diamo un'occhiata ad altri esempi di risoluzione delle disuguaglianze logaritmiche più semplici mostrate nell'immagine qui sotto:

Risoluzione di esempi

Esercizio. Proviamo a risolvere questa disuguaglianza:

Risolvere l'intervallo di valori accettabili.

Ora proviamo a moltiplicare il suo lato destro per:

Vediamo cosa possiamo inventare:

Passiamo ora alla conversione delle espressioni sublogaritmiche. Poiché la base del logaritmo è 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

E da ciò ne consegue che l'intervallo da noi ottenuto appartiene interamente all'ODZ ed è una soluzione a tale disuguaglianza.

Ecco la risposta che abbiamo ottenuto:

Cosa è necessario per risolvere le disuguaglianze logaritmiche?

Ora proviamo ad analizzare di cosa abbiamo bisogno per risolvere con successo le disuguaglianze logaritmiche?

Per prima cosa, concentra tutta la tua attenzione e cerca di non commettere errori quando esegui le trasformazioni che si verificano in questa disuguaglianza. Inoltre, va ricordato che quando si risolvono tali disuguaglianze, è necessario evitare espansioni e contrazioni delle disuguaglianze, che possono portare alla perdita o all'acquisizione di soluzioni estranee.

In secondo luogo, quando si risolvono le disuguaglianze logaritmiche, è necessario imparare a pensare in modo logico e comprendere la differenza tra concetti come un sistema di disuguaglianze e un insieme di disuguaglianze, in modo da poter selezionare facilmente soluzioni alla disuguaglianza, essendo guidati dal suo DL.

In terzo luogo, per risolvere con successo tali disuguaglianze, ognuno di voi deve conoscere perfettamente tutte le proprietà delle funzioni elementari e comprenderne chiaramente il significato. Tali funzioni includono non solo logaritmica, ma anche razionale, potenza, trigonometrica, ecc., In una parola, tutte quelle che hai studiato durante l'algebra scolastica.

Come puoi vedere, dopo aver studiato il tema delle disuguaglianze logaritmiche, non c'è nulla di difficile nel risolvere queste disuguaglianze, a condizione che tu sia attento e persistente nel raggiungere i tuoi obiettivi. Per evitare qualsiasi problema nella risoluzione delle disuguaglianze, è necessario esercitarsi il più possibile risolvendo vari compiti e allo stesso tempo ricordare i metodi di base per risolvere tali disuguaglianze e i loro sistemi. Se non riesci a risolvere le disuguaglianze logaritmiche, dovresti analizzare attentamente i tuoi errori per non ripeterli in futuro.

Compiti a casa

Per comprendere meglio l'argomento e consolidare il materiale trattato, risolvi le seguenti disuguaglianze:

\(\tronco d'albero\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Scriviamo l'ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Apriamo le parentesi e portiamo .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Moltiplichiamo la disuguaglianza per \(-1\), senza dimenticare di invertire il segno di confronto.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Costruiamo una linea numerica e segniamo i punti \(\frac(7)(3)\) e \(\frac(3)(2)\) su di essa. Tieni presente che il punto viene rimosso dal denominatore, nonostante la disuguaglianza non sia stretta. Il fatto è che questo punto non sarà una soluzione, poiché, sostituito alla disuguaglianza, ci porterà alla divisione per zero.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Ora tracciamo l'ODZ sullo stesso asse numerico e scriviamo in risposta l'intervallo che rientra nell'ODZ.
	Scriviamo la risposta finale.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Scriviamo l'ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Arriviamo alla soluzione.
Soluzione: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Qui abbiamo una tipica disuguaglianza logaritmica quadrata. Facciamolo.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Espandiamo il lato sinistro della disuguaglianza in .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Ora dobbiamo tornare alla variabile originale - x. Per fare ciò, andiamo a , che ha la stessa soluzione, ed effettuiamo la sostituzione inversa.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Trasforma \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Passiamo al confronto degli argomenti. Le basi dei logaritmi sono maggiori di \(1\), quindi il segno delle disuguaglianze non cambia.
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Combiniamo la soluzione alla disuguaglianza e all'ODZ in un'unica figura.
	Scriviamo la risposta.