Часто геометрическое сложение векторов сил требует сложных и громоздких построений. В таких случаях прибегают к другому методу, где геометрическое построе­ние заменен о вычислениями скалярных величин. Дости­гается это проектированием заданных сил на оси прямо­угольной системы координат.

Как известнее из математики, осью называют неограни­ченную прямую линию , которой приписано определенное направление . Проекция вектора на ось является скаляр­ной величиной, которая определяется отрезком оси , отсе­каемым перпендикулярами , опущенными из начала и конца вектора на ось.

Проекция вектора считается положительной (+ ), если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной (- ), если направление от на­чала проекции к ее концу противоположно положитель­ному направлению оси.

Рассмотрим ряд случаев проектирования сил на ось .

1. Дана сила Р (рис.а ), она лежит в одной пло­скости с осью х . Вектор силы составляет с положительным направлением оси острый угол α .

Чтобы найти величину проекции , из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось х, полу­чаем

Р х = ab = Р cos α .

Проекция вектора в данном случае положительна .

2. Дана сила Q (рис. б ), которая лежит в одной плоскости с осью х , но ее вектор составляет с положи­тельным направлением оси тупой угол α .

Проекция силы Q на ось х

Q х = ab = Q cos α,

cos a = - cos β .

Так как α > 90° , то cos cos α - отрицательная величина. Выразив cos α через cos β (β - острый угол), оконча­тельно получим

Q х = - Q cos β

В этом случае проекция силы отрицательна .

Итак, проекция силы на ось координат равна произве­дению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси .

При определении проекции вектора силы на ось поль­зуются обычно косинусом острого угла, независимо от того, с каким направлением оси - положительным или отрицательным - он образо­ван. Знак проекции легче устанавливать непосредствен­но по чертежу.

Силу, расположенную на плоскости хОу , можно спроек­тировать на две координатные оси Ох и Оу . Рассмотрим рисунок.

На нем изображена сила Р и ее проекции Р х и Р у . Ввиду того что проекции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника ABC следует:

В тех случаях, когда на тело действует более трех сил, а также когда неизвестны направления некоторых сил, удобнее при решении задач пользоваться не геометрическим, а аналитическим условием равновесия, которое основано на методе проекций.

Проекцией силы на ось называется отрезок оси, заключенный между двумя перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора силы.

Пусть даны координатные оси х, у , сила Р, приложенная в точке А и расположенная в плоскости координатных осей.

Проекциями силы Р на оси будут отрезки аЬ и а"Ь". Обозначим эти проекции соответственно Р х и Р у . Тогда

Р Х = Р cos(x); Р у = Рsin(x).

Проекция силы на ось есть величина алгебраическая, которая может быть положительной или отрицательной, что устанавливается по направлению проекции. За направление проекции примем направление от проекции начала к проекции конца вектора силы.

Установим следующее правило знаков: если направление проекции силы на ось совпадает с положительным направлением оси, то эта проекция считается положительной, и наоборот.

Если вектор силы параллелен оси , то он проецируется на эту ось в натуральную величину .

Если вектор силы перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю Зная две проекции Р х и Р у , из треугольника ЛВС определяем модуль и направление вектора силы Р по следующим формулам:

Р = у /Р* + Р*, направляющий тангенс угла между вектором силы Р и осью х 1 ё а = Р у /Р х.

Отметим, что силу Р можно представить как равнодействующую двух составляющих сил Р х и Р , параллельных осям координат (рис. 2.3). Составляющие Р х и Р у и проекции Р х и Р у принципиально отличны друг от друга, так как составляющая есть величина векторная, а проекция -- величина алгебраическая; но проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси х и у и модули составляющих той же силы соответственно численно равны, когда сила разлагается по двум взаимно перпендикулярным направлениям, параллельным осям х и у.

Очевидно, что, согласно третьему закону Ньютона (аксиома взаимодействия), внутренние силы, действующие в сечении оставшейся и отброшенной частей тела, равны по модулю, но противоположны по направлению. Таким образом, рассматривая равновесие любой из двух частей рассеченного тела, мы получим одно и то же значение внутренних сил, однако выгоднее рассматривать ту часть тела, для которой уравнения равновесия проще.

1. растяжение; эту деформацию испытывают, например, канаты, тросы, цепи, шток протяжного станка;

2. сжатие; на сжатие работают, например, колонны, кирпичная кладка, пуансоны штампов;

3. сдвиг; деформацию сдвига испытывают заклепки, болты, шпонки, швы сварных соединений. Деформацию сдвига, до- веденную до разрушения материала, называют срезом. Срез возникает, например, при резке ножницами или штамповке деталей из листового материала;

4. кручение; на кручение работают валы, передающие мощность при вращательном движении. Обычно деформация кручения сопровождается другими деформациями, например изгибом;

5. изгиб; на изгиб работают балки, оси, зубья зубчатых колес и другие элементы конструкций.

Очень часто элементы конструкций подвергаются действию нагрузок, вызывающих одновременно несколько основных деформаций. Так, например, в теоретической механике мы рассмотрели усилия, действующие на колесо червячной передачи. Очевидно, что в этом случае возникают следующие деформации вала червячного колеса:

Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука (1635 -- 1703).

Закон Гука при растяжении и сжатии справедлив лишь в определенных пределах нагружения и формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.

Коэффициент пропорциональности Е характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода.

Модуль упругости и напряжение выражаются в одинаковых единицах:

[Ј] = [а]/ = Па.

Значения Е, МПа, для некоторых материалов:

Чугун (1,5...1,6) 10 5

Сталь (1,96...2,16) 10 5

Медь (1,0...1,3)10 5

Сплавы алюминия (0,69...0,71) 10 5

Дерево (вдоль волокон) (0,1...0,16) 10 5

Текстолит (0,06...0,1)10 5

Капрон (0,01... 0,02) 10 5

Если в формулу закона Гука подставим выражения a = N/A, 8 = А///, то получим

Произведение ЕА, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно физико-механические свойства материала и геометрические размеры поперечного сечения бруса.

Эта формула читается так: абсолютное удлинение или укорочение прямо пропорционально продольной силе, длине и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.

Отношение называется жесткостью бруса при растяжении или сжатии.

Приведенные выше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из одного материала и при постоянной продольной силе.

Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков.

Диаграмма растяжения низкоуглеродистой стали представлена на рис. 19.6. Эта диаграмма имеет следующие характерные точки.

Точка А практически соответствует и другому пределу, который называется пределом упругости.

Пределом упругости а уп называется то наибольшее напряжение, до которого деформации практически остаются упругими.

Точка С соответствует пределу текучести.

Пределом текучести а т называется такое напряжение, при котором в образце появляется заметное удлинение без увеличения нагрузки.

При достижении предела текучести поверхность образца становится матовой, так как на ней появляется сетка линий Людерса-Чернова, наклоненных к оси под углом 45°.

Эти линии впервые были описаны в 1859 г. немецким металлургом Людерсом и независимо от него в 1884 г. русским металлургом Д.К. Черновым (1839--1921), предложившим использовать их при экспериментальном изучении напряжений в сложных деталях.

Предел текучести является основной механической характеристикой при оценке прочности пластичных материалов. Точка В соответствует временному сопротивлению или пределу прочности.

Временным сопротивлением а в называется условное напряжение, равное отношению максимальной силы, которую выдерживает образец, к первоначальной площади его поперечного сечения (для стали СтЗ а в 400 МПа).

При достижении временного сопротивления на растягиваемом образце образуется местное сужение -- шейка, т. е. начинается разрушение образца.

В определении временного сопротивления говорится об условном напряжении, так как в сечениях шейки напряжения будут больше.

Пределом прочности а пч называется временное сопротивление образца, разрушающегося без образования шейки. Предел прочности является основной механической характеристикой при оценке прочности хрупких материалов.

Точка И соответствует напряжению, возникающему в образце в момент разрыва во всех поперечных сечениях, кроме сечений шейки.

Точка М соответствует напряжению, возникающему в наименьшем поперечном сечении шейки в момент разрыва. Это напряжение можно назвать напряжением разрыва.

а аналитическим условием равновесия, которое основано на методе проекций.

Проекцией силы на ось называется отрезок оси, заключенный между двумя перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора силы.

Пусть даны координатные оси х, у, сила Р, приложенная в точке А и расположенная в плоскости координатных осей (рис. 2.3).

Проекциями силы Р на оси будут отрезки аЬ и а"Ь". Обозначим этн проекции соответственно Р„и Р„. Тогда

Р„= Р со я а; Р„= Р я п а.

Проекция силы на ось есть величина алгебраическая, которая может быть положительной или отрицательной, что устанавливается по направлению проекции. За направление проекции примем направление от проекции начала к проекции конца вектора силы.

Установим следующее правило знаков:

если направление проекции силы на ось совпадает с положительным направление.м оси, то эта проекция считается положительной, и наоборот.

Если вектор силы параллелен оси, то он проецируется на эту ось в натуральную величину (рис. 2.3, сила Г).

Если вектор силы перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю (рис. 2.3, сила Я).

Зная две проекции Р„и Р„, из треугольника АВС определяем модуль и направление вектора силы Р по следующим формулам:

модуль силы

направляющий тангенс угла между вектором силы

Р и осью х

Отметим, что силу Р можно представить как равнодействующую двух составляющих сил Р„и Р., параллельных осям координат (рис. 2.3). Составляющие Р„и Р„и проекции Р„ и Рх принципиально отличны друг от друга, так как составляющая есть величина векторная, а проекция величина алгебраическая; но проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси х и у и модули составляющих той же силы соответственно численно равны, когда сила разлагается по двум взаимно перпендикулярным направлениям, параллельным осям х и у.

$2.4. Аналитический способ определения

равнодействующей плоской системы сходящихся сил

Пусть дана плоская система п сходящихся сил

Равнодействующая этой системы

В плоскости действия данной системы выберем ось координат и спроецируем данные силы и их равнодействующую на эту ось.

Из математики известно свойство проекции векторной суммы, на основании которого можно утверждать, что проекция равнодействующей на ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось, т. е.

Правую часть этого равенства записываем упрощенно,

а именно:

Для того чтобы определить равнодействующую любой плоской системы сходящихся сил, спроецируем их на оси координат х и у, алгебраически сложим проекции всех сил и найдем, таким образом, проекции равнодействующей.

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 1.15).

рис. 1.15

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля си­лы на косинус угла между вектором силы и положительным напра­влением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 1.16).

рис. 1.16

F 1x = F 1 cos α 1 > 0; F 2x = F 2 cos α 2 = - F 2 cos β 2 ;

cos α 2 = cos (180° - β 2) = - cos β 2 ;

F 3x = F 3 cos 90° = 0; F 4x = F 4 cos 180° = - F 4

Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси

F x = F cos a > 0;

F y = F cos β = F sin α > 0 . рис.1.17

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретическая механика

Теоретическая механика.. введение.. любое явление в ок ружающем нас макромире связано с движением следовательно не может не иметь того или иного..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Аксиомы статики
Условия, при которых тело может находиться в равновесии, выводиться из нескольких основных положений, применяемых без доказательств, но подтвержденных опытом и называемых аксиомами статики.

Связи и реакции связей
Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела. Все тела делятся на свободные и связанные. Свободным называется тело, которое не испыты

Определение равнодействующей геометрическим способом
Знать геометрический способ определения равнодействующей системы сил, условия равновесия плоской системы сходящихся сил.

Равнодействующая сходящихся сил
Равнодействующую двух пересекающихся сил можно опреде­лить с помощью параллелограмма или треугольника сил (4-я ак­сиома) (рис. 1.13).

Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом
Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геоме­трическим способом. Выберем систему координат, определим про­екции всех зада

Условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме
Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим: FΣ

Методика решения задач
Решение каждой задачи можно условно разделить на три этапа. Первый этап: Отбрасываем внешние связи системы тел, равновесие которой рассматривается, и заменяем их действие реакциями. Необхо

Пара сил и момент силы относительно точки
Знать обозначение, модуль и определение моментов пары сил и силы относительно точки, условия равновесия системы пар сил. Уметь определять моменты пар сил и момент силы относитель

Эквивалентность пар
Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, т. е. не изменяется движение тела или не нару­шается его

Опоры и опорные реакции балок
Правило для определения направления реакций связей (рис.1.22). Шарнирно-подвижная опора допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение параллельно опорной плос­кости.

Приведение силы к точке
Произвольная плоская система сил представляет собой систему сил, линии действия которых расположены в плоскости каким угодно образом (рис. 1.23). Возьмем силу

Приведение плоской системы сил к данной точке
Метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, ч

Влияние точки приведения
Точка приведения выбрана произвольно. Произвольная плоская система сил представляет собой систему сил, линия действия которых расположены в плоскости каким угодно образом. При изменении по

Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)
В общем случае произвольная плоская система сил приводится к главному вектору F"гл и к главному моменту Мгл относительно выбранного центра приведения, причем гла

Условие равновесия произвольно плоской системы сил
1)При равновесии главный вектор системы равен нулю (=0).

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления
Иметь представление о видах опор и возникающих реакциях в опорах. Знать три формы уравнений равновесия и уметь их использовать для определения реакций в опорах балочных систем.

Виды нагрузок
По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосре­доточенной

Момент силы относительно точки
Момент силы относительно оси характеризуется вра­щательным эффектом, создаваемым силой, стремящейся повернуть тело вокруг данной оси. Пусть к телу в про­извольной точке К приложена сила

Вектор в пространстве
В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно пер­пендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, век­тор силы совпадает с диагональю (рис. 1.3

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О
Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О. Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образует­ся система пар сил. Момент каждой из этих пар равен

Некоторые определения теории механизмов и машин
При дальнейшем изучении предмета теоретической ме­ханики, в особенности при решении задач, мы столкнемся с но­выми понятиями, относящимися к науке, которая называется теорией механизмов и машин.

Ускорение точки
Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлени

Ускорение точки при криволинейном движении
При движении точки по криволинейном траектории скорость меняет свое направление. Представим себе точку М, которая за время Δt, двигаясь по криволинейной траектории, переместилас

Равномерное движение
Равномерное движение - это движение с постоянной скоро­стью: v = const. Для прямолинейного равномерного движения (рис. 2.9, а)

Неравномерное движение
При неравномерном движении численные значения скорости и ускорения меняются. Уравнение неравномерного движения в общем виде представля­ет собой уравнение третьей S = f

Простейшие движения твердого тела
Иметь представление о поступательном движении, его особенности и параметрах, о вращательном движении тела и его параметрах. Знать формулы для определения параметров поступательно

Вращательное движение
Движение, при котором по крайнем мере точки твердого тела или неизменяемой системы остаются неподвижными, называемыми вращательным; прямая линия, соединяющая эти две точки,

Частные случаи вращательного движения
Равномерное вращение (угловая скорость постоянна): ω = const. Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае име­ет вид: `

Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры дви­жения точки Л, расположенной на расстоянии г а от оси вращения (рис. 11.6, 11.7).

Преобразование вращательного движения
Преобразование вращательного движения осуществля­ется разнообразными механизмами, которые называются пере­дачами. Наиболее распространенными являются зубчатые и фрикционные передачи, а также

Основные определения
Сложным движением считают движение, которое можно разло­жить на несколько простых. Простыми движениями считают посту­пательное и вращательное. Для рассмотрения сложного движения точ

Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным, или плоским, называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются парал­лельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета

Метод определения мгновенного центра скоростей
Скорость любой точки тела можно определять с помощью мгновенного центра скоростей. При этом сложное движение пред­ставляют в виде цепи вращений вокруг разных центров. Задача

Понятие трения
Абсолютно гладких и абсолютно твердых тел в природе не существует, и поэтому при перемещении одного тела по по­верхности другого возникает сопротивление, которое называется трением.

Трение скольжения
Трением скольжения называется трение движения, при котором скорости тел в точке касания различны по значению и (или) направлению. Трение скольжения, как и трение покоя, обуслов

Свободная и несвободная точки
Материальная точка, движение которой в пространстве не огра­ничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи реша­ются с помощью основного закона динамики. Материальные то

Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)
Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач. Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разго­няющимся телом (к связям). Даламбер предло

Работа постоянной силы на прямолинейном пути
Работа силы в общем случае численно равна произведению мо­дуля силы на длину пройденного мм пути и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения (рис. 3.8): W

Работа постоянной силы на криволинейном пути
Пусть точка М движется по дуге окружности и сила F соста­вляет некоторый угол а

Мощность
Для характеристики работоспособности и быстроты соверше­ния работы введено понятие мощности.

Коэффициент полезного действия
Способность тела при переходе из одного состояния в другое совершать работу называется энергией. Энергия есть общая мера различных форм движения и взаимодействия матери

Закон изменения количества движения
Количеством движения материальной точки называется вектор­ная величина, равная произведению массы точки на ее скорость

Потенциальная и кинитецеская энергия
Существуют две основные формы механической энергии: потен­циальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия, или энергия движения. Чаще всего приходится им

Закон изменения кинетической энергии
Пусть на материальную точку массой m действует постоянная сила. В этом случае точк

Основы динамики системы материальных точек
Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой. Любое материальное тело в механике рассматривается как меха­ническая

Основное уравнение динамики вращающегося тела
Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Oz с угловой скоростью

Моменты инерции некоторых тел
Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 3.19) Момент инерции полого тонкостен­ного цили

Сопротивление материалов
Иметь представление о видах расчетов в сопротивлении материалов, о классификации нагрузок, о внутренних силовых факторах и возникающих деформациях, о механических напряжениях. Зн

Основные положения. Гипотезы и допущения
Практика показывает, что все части конструкций под действием нагрузок деформируются, т. е. изменяет свою форму и размеры, а в некоторых случаях происходит разрушение конструкции.

Внешние силы
Всопротивлении материалов под внешними воздейст­виями подразумевается не только силовое взаимодейст­вие, но и тепловое, возникающее из-за неравномерного изменения температурного ре

Деформации линейные и угловые. Упругость материалов
В отличие от теоретической механики, где изучалось взаимодействие абсолютно жестких (недеформируемых) тел, в сопротивлении материалов исследуется поведение конструкций, материал которых способен де

Допущения и ограничения, принятые в сопротивлении материалов
Реальные строительные материалы, из которых воз­водятся различные здания и сооружения, представляют собой довольно сложные и неоднородные твердые тела, обладающие различными свойствами. Учесть это

Виды нагрузок и основных деформаций
В процессе работы машин и сооружений их узлы и детали воспринимают и передают друг другу различные нагрузки, т. е. силовые воздействия, вызывающие изменение внутренних сил и

Формы элементов конструкции
Все многообразие форм сводится к трем видам по одному при­знаку. 1. Брус - любое тело, у которого длина значительно больше других размеров. В зависимости от форм продольной

Метод сечений. Напряжение
Знать метод сечений, внутренние силовые факторы, составляющие напряжений. Уметь определять виды нагружений и внутренние силовые факторы в поперечных сечениях. Для ра

Растяжение и сжатие
Растяжением или сжатием называют вид нагружения, при ко­тором в поперечном сечении бруса возникает только один внутрен­ний силовой фактор - продольная сила. Продольные силы м

Центральное растяжение прямого бруса. Напряжения
Центральным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечения бруса возникает только продольная (нормаль­ная) сила N, а все остальные внутренние

Напряжения при растяжении и сжатии
При растяжении и сжатии в сечении действует только нормаль­ное напряжение. Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади. Таким

Продольные и поперечные деформации. Закон Гука
Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи. Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета на­пряжений и перемещений. Уметь проводи

Закон Гука при растяжении и сжатии
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука (1635 - 1703).

Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии
Используем известные формулы. Закон Гука σ=Еε. Откуда.

Механические испытания. Статические испытания на растяжение и сжатие
Это стандартные испыта­ния: оборудование - стандарт­ная разрывная машина, стан- дартный образец (круглый или плоский), стандартная методика расчета. На рис. 4.15 представлена схема

Механические характеристики
Механические характеристики материалов, т. е. величины, характеризующие их прочность, пластичность, упругость, твер­дость, а также упругие постоянные Е и υ, необходимые конструктору для

Аналитический метод решения задач статики основывается на понятии о проекции силы на ось. Проекция силы (как и любого другого вектора) на ось есть алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси.

Если этот угол острый, - проекция положительна, если тупой, - отрицательна, а если сила перпендикулярна оси, - ее проекция на ось равна нулю. Так, для сил, изображенных на рис. 18,

Проекцией силы F на плоскость называется вектор заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость (рис. 19). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своими числовыми значениями, но и направлением в плоскости По модулю где - угол между направлением силы F и ее проекции

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 19, найдем таким способом, что

Аналитический способ задания сил. Для аналитического задания силы необходимо выбрать систему координатных осей Oxyz, по отношению к которой будет определяться направление силы в пространстве.

В механике мы будем пользоваться правой системой координат, т. е. такой системой, в которой кратчайшее совмещение оси с осью происходит, если смотреть с положительного конца оси против хода часовой стрелки (рис. 20).

Вектор, изображающий силу F, можно построить, если известны модуль этой силы и углы , которые сила образует с координатными осями. Таким образом, величины и задают силу F. Точка А приложения силы должна быть задана отдельно ее координатами .

Для решения задач механики удобнее задавать силу ее проекциями на координатные оси. Зная эти проекции, можно определить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями, по формулам:

Если все рассматриваемые силы расположены в одной плоскости, то каждую из сил можно задать ее проекциями на две оси Тогда формулы, определяющие силу по ее проекциям, примут вид:

Аналитический способ сложения сил. Переход от зависимостей между векторами к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы геометрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Согласно этой теореме, если R есть сумма сил то

Зная по формулам (6) находим:

Формулы (8), (9) и позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.

Для сил, расположенных в одной плоскости, соответствующие формулы принимают вид:

Если силы заданы их модулями и углами с осями, то для применения аналитического метода сложения надо предварительно вычислить проекции этих сил на координатные оси.