Расчет пружины. Рассмотрим, каким образом можно получить зависимость удлинения пружины от приложенной нагрузки. Считаем по теоретическим формулам сопротивления материалов. Блокнот Mathemetica прилагается.

Расчет пружины. Общие сведения

Для автоматизации многочисленных подстановок, буду применять Mathematica Online. Приведу сразу снимок блокнота. Теория далее. Задействованы ReplaceAll в краткой форме и Solve.

Блокнот Mathematica Online. Вывод формулы коэффициента жесткости пружины.

Cчитаем, что пружина это скручивающийся стержень. У кусочка проволоки, из которого навита пружина, есть некоторая длина (это будет длина стержня). Диаметр проволоки равен .

Энергия деформации

Для энергии (Дж) деформации крутящегося стержня имеем следующее выражение:

Здесь: — объем стержня (проволоки пружины), — модуль сдвига (для стали равен Па), — максимальное касательное напряжение на поверхности стержня, — площадь поперечного сечения проволоки, из которой свита пружина, — длина проволоки, из которой свита пружина. Без зацепов и поджатых витков. Площадь поперечного сечения может быть выражена через диаметр проволоки:

Как известно, напряжения в стержне при кручении меняются от нуля в центре до максимума на поверхности стержня. То есть: — для касательных напряжений в произвольной точке стержня на расстоянии от оси вращения. Для максимальных касательных напряжений, радиус максимален и равен радиусу проволоки, поэтому: . Здесь — радиус точки в которой вычисляется напряжение (максимальный радиус равен ), — диаметр проволоки, — полярный момент инерции сечения проволоки. Для проволоки круглого сечения момент равен: . — момент кручения стержня, выражается через силу , которая приложена к пружине по оси спирали:

Таким образом, подставив все величины в формулу для определения энергии деформации, мы получим следующее выражение энергии (см. ячейку 15 блокнота Mathematica):

Работа силы на свободном конце пружины

С другой стороны, работа, совершаемая некоторой силой на перемещение нижнего конца пружины при растяжении должна быть равна энергии деформации. Известно, что усилие для растяжения пружины не постоянно, чем больше растягиваем, тем больше усилие. Закон линеен. Поэтому работа равна площади треугольника под графиком линейной функции, то есть:

Зависимость перемещения Y от силы F

Приравнивая работу (Дж) к энергии (Дж), получаем уравнение:

Забыл кое-что выразить. — длина проволоки в спирали может быть подсчитана так: , где — диаметр спирали, — число витков.

Сделаем замену в уравнении и выразим (Ячейка 18):

т.е. , где

(Н/м) — это искомый коэффициент жесткости цилиндрической пружины. Обратите внимание на то, что жесткость прямо пропорциональна диаметру проволоки в четвертой степени и обратно пропорциональна диаметру пружины в кубе. Это означает, что увеличение диаметра проволоки в два раза при прочих размерах без изменений, увеличит жесткость в раз. А увеличение диаметра пружины в два раза при прочих размерах без изменений, уменьшит жесткость в раз.

На практике, приходится учитывать некоторые нюансы. Например, диаметр проволоки может быть не любым а только таким, который выпускается промышленностью. У пружины, кроме жесткости есть такая характеристика, как ресурс и режим работы. Учитывается даже соударение витков — вспомните магическую пружинку Слинки, которую Эйс Вентура с монастыря спускал, так вот, у ней всегда витки соударяются. Кроме того, выведенная формула жесткости не учитывает криволинейность оси проволоки, свитой в пружину. Для этого существует специальный поправочный коэффициент, входящий в формулу для вычисления касательного напряжения. Этот коэффициент зависит от индекса пружины . Пружины на практике рассчитываются в соответствии с нормативной документацией:

Методика определения размеров пружин дана в ГОСТ 13765-86 — «Пружины винтовые цилиндрические сжатия и растяжения из стали круглого сечения. Обозначение параметров, методика определения размеров».

Расчет пружины выполняется по ГОСТ, см. В.И. Анурьев — «Справочник конструктора машиностроителя» Том 3, стр 199. Издание 2001 г.

Если под воздействием внешних сил на твердое тело оно деформируется, то в нем происходят смещения частиц узлов кристаллической решетки. Этому сдвигу противостоят силы взаимодействия частиц. Так возникают силы упругости, которые приложены к телу, подвергшемуся деформации. Модуль силы упругости пропорционален деформации:

где — напряжение при упругой деформации, K — модуль упругости, который равен напряжению при относительной деформации, равной единице. где — относительная деформация, — абсолютная деформация, — первоначальное значение величины, которая характеризовала форму или размеры тела.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициентом упругости называют физическую величину, которая связывает в законе Гука удлинение, возникающее при деформации упругого тела и силу упругости. Величина равная называется коэффициентом упругости. Она показывает изменение размера тела под воздействием нагрузки при упругой деформации.

Коэффициент упругости зависит от материала тела, его размеров. Так при увеличении длины пружины и уменьшении ее толщины коэффициент упругости уменьшается.

Модуль Юнга и коэффициент упругости

При продольной деформации, в одностороннем растяжении (сжатии) мерой деформации служит относительное удлинение, которое обозначают или . При этом модуль силы упругости определяют как:

где — модуль Юнга, который в рассматриваемом случае равен модулю упругости () и характеризующий упругие свойства тела; — первоначальная длина тела; — изменение длины при нагрузке . При S — площадь поперечного сечения образца.

Коэффициент упругости растянутой (сжатой) пружины

При растяжении (сжатии) пружины вдоль оси X закон Гука записывается как:

где — модуль проекции силы упругости; — коэффициент упругости пружины, — удлинение пружины. Тогда коэффициент упругости — это сила, которую следует приложить к пружине, чтобы изменить ее длину на единицу.

Единицы измерения

Основной единицей измерения коэффициента упругости в системе СИ является:

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

I. Жесткость пружины

Что такое жесткость пружины ?
Одним из важнейших параметров, относящимся к упругим изделиям из металла разного назначения, является жесткость пружины. Она подразумевает, насколько пружина будет устойчива к воздействию других тел и насколько сильно сопротивляется им при воздействии. Силе сопротивления равен коэффициент жесткости пружины.

На что влияет этот показатель?
Пружина – это достаточно упругое изделие, обеспечивающее передачу поступательных вращательных движений тем приборам и механизмам, в которых она находится. Надо сказать, что встретить пружину можно повсеместно, каждый третий механизм в доме оснащен пружиной, не говоря уже о количестве этих упругих элементов в приборах на производстве. При этом надежность функционирования этих приборов будет определяться степенью жесткости пружины. Эта величина, называемая коэффициентом жесткости пружины, зависит от усилия, которое нужно приложить, чтобы сжать или растянуть пружину. Распрямление пружины до исходного состояния определяется тем металлом, из которого она изготовлена, но не степенью жесткости.

От чего зависит данный показатель?
Такой простой элемент, как пружина, обладает массой разновидностей в зависимости от степени назначения. По способу передачи деформации механизму и форме выделяют спиральные, конические, цилиндрические и другие. Поэтому жесткость конкретного изделия определяется также и способом передачи деформации. Деформационная характеристика будет разделять пружинные изделия на пружины кручения, сжатия, изгиба и растяжения.

При использовании в приборе сразу двух пружин, степень их жесткости будет зависеть от способа крепления – при параллельном соединении в приборе жесткость пружин будет увеличиваться, а при последовательном – уменьшаться.

II. Коэффициент жесткости пружины

Коэффициент жесткости пружины и пружинных изделий – один из важнейших показателей, который определяет срок службы изделия. Для расчета коэффициента жесткости в ручную — существует несложная формула (см. рис. 1), а так же есть возможность воспользоваться нашим калькулятором пружин , который достаточно легко поможет произвести Вам все необходимые расчеты. Однако на срок эксплуатации всего механизма жесткость пружины будет влиять лишь косвенно – большее значение будут иметь другие качественные особенности прибора.

Определение 1

Пружина - упругий объект, целенаправленно подвергающийся сжатию или растяжению, в результате чего может запасать энергию, а затем, при ослабевании внешней деформирующей силы, возвращать ее. Пружины в нормальных условиях не должны подвергаться остаточным (пластическим) деформациям, т.е. таким воздействиям, после которых форма изделия уже не восстанавливается вследствие нарушения структуры их материала.

Типы пружин

Пружины можно классифицировать по направлению прилагаемой нагрузки:

• пружины растяжения; предназначены для работы в режиме растягивания, при деформации их длина увеличивается; как правило, такие устройства имеют нулевой шаг, т.е. намотаны "виток к витку"; примером могут служить пружины в весах-безменах, пружины для автоматического закрытия дверей и т.д.;
• пружины сжатия под нагрузкой, напротив, укорачиваются; в исходном состоянии между их витками есть некоторое расстояние, как, например, в амортизаторах автомобильных подвесок.

В данной статье рассматриваются пружины, представляющие собой цилиндрические спирали. В технике применяется много других разновидностей упругих устройств: пружины в виде плоских спиралей (используются в механических часах), в виде полос (рессоры), пружины кручения (в точных весах), тарельчатые (сжимающиеся конические поверхности) и т.п. Своего рода пружинами являются амортизирующие изделия из полимерных эластичных материалов, прежде всего резины. Во всех этих устройствах используется один и тот же принцип - запасать энергию упругой деформации и возвращать ее.

Физические характеристики пружин

Цилиндрические пружины характеризуются рядом параметров, сочетание которых обуславливает их жесткость - способность сопротивляться деформации:

1. материал; пружины чаще всего изготавливают из стальной проволоки, причем сталь в них применялася особая, ее характеризует среднее или высокое содержание углерода, низкое содержание других примесей (низколегированный сплав) и особая термообработка (закалка), придающая материалу дополнительную упругость;
2. диаметр проволоки; чем он меньше, тем эластичнее пружина, но тем меньше ее способность запасать энергию; пружины сжатия изготавливают, как правило, из более толстой проволоки, чем пружины растяжения;
3. форма сечения проволоки; не всегда проволока, из которой намотана пружина, имеет круглое сечение; уплощенное сечение имеют пружины сжатия, чтобы при максимальном сокращении длины (виток "садится" на соседний виток) конструкция была более устойчивой;
4. длина и диаметр пружины; длину пружины следует отличать от длины проволоки, из которой она намотана; эти два параметра согласуются через количество витков и диаметр пружины, который, в свою очередь, не следует путать с диаметром проволоки.

Существуют и другие физические характеристики, влияющие на работоспособность пружин. Например, при повышении температуры металл становится менее упругим, а при существенном ее понижении может стать хрупким. При интенсивной эксплуатации пружина со временем теряет часть упругости по причине постепенного разрушения связей между атомами кристаллической решетки.

Понятие жесткости

Определение 2

Жесткость как физическая величина характеризует силу, которую нужно приложить к пружине для достижения определенной степени растяжения или сжатия.

Коэффициент жесткости рассчитывается по формуле Гука:

$F = -k \cdot x$,

где $F$ - сила, развиваемая пружиной, $k$ - коэффициент жесткости, зависящий от ее характеристик (см. выше) и измеряемый в ньютонах на метр, $x$ - абсолютное приращение расстояния, на которое изменилась длина пружины после приложения внешней силы. Знак минус в правой части формулы свидетельствует о том, что сила, порождаемая пружиной, действует в противоположном по отношению к нагрузке направлении.

Коэффициент жесткости можно вычислить экспериментально, подвешивая на расположенную вертикально и закрепленную за верхний конец пружину грузы с известной массой. В этом случае имеет место зависимость

$m \cdot g - k \cdot x = 0$,

где $m$ - масса, $g$ - ускорение свободного падения. Отсюда

$k = \frac{m \cdot g}{x}$

Расчет жесткости цилиндрической пружины

Довольно просто понять как работает плоская пружина. Если положить на край письменного стола линейку и прижать один ее конец рукой к поверхности, но второй можно упруго изгибать, запасая и высвобождая энергию. Очевидно, что в момент изгиба расстояния между молекулами материала в некоторых фрагментах линейки увеличиваются, в некоторых уменьшаются. Электромагнитные связи, действующие между молекулами, стремятся вернуть вещество к прежнему геометрическому состоянию.

Несколько сложнее дело обстоит с цилиндрической пружиной. В ней энергия запасается не благодаря деформации изгиба, а за счет скручивания проволоки, из которой пружина навита, относительно продольной оси этой проволоки.

Представим сильно увеличенное сечение проволоки, из которой навита цилиндрическая пружина, выполненное перпендикулярной ее оси плоскостью. При таком рассмотрении можно абстрагироваться от спиральной формы и мысленно разбить весь объем проволоки на множество соприкасающихся торцевыми поверхностями "цилиндров", диаметр которых равен диаметру проволоки, а высота стремится к нулю. Между соприкасающимися торцами действуют молекулярные силы, препятствующие деформации.

При растяжении или сжатии пружины угол наклона между витками изменяется. Соседние "цилиндры" при этом вращаются друг относительно друга в противоположных направлениях вокруг общей оси. В каждом таком сечении запасается энергия. Отсюда следует, что чем из более длинного куска проволоки навита пружина (здесь играют роль диаметр и высота цилиндра, а также шаг витка), тем большее количество энергии она способна запасти. Увеличение диаметра проволоки также повышает ее энергоемкость. В целом формула, учитывающая основные факторы жесткости пружины, выглядит так:

$k = \frac{r^4}{4R^3} \cdot \frac{G}{n}$,

• $R$ - радиус цилиндра пружины,
• $n$ - количество витков проволоки радиуса $r$,
• $G$ - коэффициент, зависящий от материала.

Подставим в формулу числовые значения, попутно переведя их в единицы системы СИ:

$k = \frac{(10^{-3})^4}{4 \cdot (2 \cdot 10^{-2})^3} \cdot \frac{8 \cdot 10^{10}}{25} = \frac{8 \cdot 10^{-2}}{10^2 \cdot 2^3 \cdot 10^{-6}} = 100$

Ответ: $100 \frac{Н}{м}$

При воздействии внешних сил тела способны приобретать ускорения или деформироваться. Деформацией называют изменение размеров и (или) формы тела. Если после снятия внешней нагрузки тело восстанавливает свои размеры и форму полностью, то такая деформация называется упругой.

Пусть на пружину на рис.1 действует растягивающая сила, направленная вертикально вниз.

При воздействии деформирующей силы ($\overline{F}$) длина пружины увеличивается. В пружине возникает сила упругости (${\overline{F}}_u$), которая уравновешивает деформирующую силу. Если деформация небольшая и упругая, то удлинение пружины ($\Delta l$) пропорционально деформирующей силе:

\[\overline{F}=k\Delta l\left(1\right),\]

где в качестве коэффициента пропорциональности выступает жесткость пружины $k$. Коэффициент $k$ называют также коэффициентом упругости, коэффициентом жесткости. Жесткость (как свойство) характеризует упругие свойства тела, подвергаемого деформации - это возможность тела оказывать противодействие внешней силе, сохранять свои геометрические параметры. Коэффициент жесткости является основной характеристикой жесткости.

Коэффициент жесткости пружины зависит от материала, из которого изготовлена пружина, ее геометрических характеристик. Так, коэффициент жесткости витой цилиндрической пружины, которая намотана из проволоки круглого сечения, подвергаемая упругой деформации вдоль своей оси вычисляется при помощи формулы:

где $G$ -модуль сдвига (величина зависящая от материала); $d$ - диаметр проволоки; $d_p$ - диаметр витка пружины; $n$ - количество витков пружины.

Единицы измерения жесткости пружины

Единицей измерения коэффициента жесткости в Международной системе единиц (Си) является ньютон, деленный на метр:

\[\left=\left[\frac{F_{upr\ }}{x}\right]=\frac{\left}{\left}=\frac{Н}{м}.\]

Коэффициент жесткости равен величине силы, которую следует приложить к пружине для изменения ее длины на единицу расстояния.

Жесткость соединений пружин

При последовательном соединении $N$ пружин жесткость соединения вычисляется при помощи формулы:

\[\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\dots =\sum\limits^N_{\ i=1}{\frac{1}{k_i}\left(2\right).}\]

Если пружины соединены параллельно, то результирующая жесткость равна:

Примеры задач на жесткость пружин

Пример 1

Задание. Какова потенциальная энергия ($E_p$) деформации системы из двух параллельно соединенных пружин (рис.2), если их жесткости равны: $k_1=1000\ \frac{Н}{м}$; $k_2=4000\ \frac{Н}{м}$, а удлинение составляет $\Delta l=0,01$ м.

Решение. При параллельном соединении пружин жесткость системы вычислим как:

Потенциальную энергию деформированной системы вычислим при помощи формулы:

Вычислим искомую потенциальную энергию:

Ответ. $E_p=0,\ 25$ Дж

Пример 2

Задание. Чему равна работа ($A$) силы растягивающей систему из двух последовательно соединенных пружин, имеющих жесткости $k_1=1000\ \frac{Н}{м}\ \ и$ $k_2=2000\ \frac{Н}{м}$, если удлинение второй пружины составляет $\Delta l_2=0,\ 1\ м$?

Решение. Сделаем рисунок.

При последовательном соединении пружин на каждую из них действует одна и та же деформирующая сила ($\overline{F}$), используя этот факт и закон Гука найдем удлинение первой пружины:

Работа силы упругости при растяжении первой пружины, равна:

Учитывая полученное в (2.1) удлинение первой пружины имеем:

Работа второй силы упругости:

Работа силы, которая растягивает систему пружин в целом, будет найдена как:

Подставим правые части выражений (2.3) и (2.4) в формулу (2.5), получаем:

Вычислим работу:

\[А=\frac{2000\cdot {({10}^{-1})}^2}{2\cdot 1000}\left(2000+1000\right)=30\ \left(Дж\right).\]

Ответ. $А$=30 Дж