Инструкция

Многоугольник, лежащий в основании , может быть правильным, то есть таким, все стороны которого равны, и неправильным. Если в основании призмы лежит правильный , то вычислить его площадь можно по формуле S=1/2P*r, где S - это площадь , P - это многоугольника (сумма длин всех его сторон), а r - радиус окружности, вписанной в многоугольник.

Наглядно представить себе радиус вписанной в правильный многоугольник окружности можно, разделив многоугольник на равные . Высота, проведенная из вершины каждого треугольника к стороне многоугольника, являющейся основанием треугольника, и будет радиусом вписанной окружности.

Если же многоугольник неправильный, то для вычисления площади призмы необходимо разбить его на треугольники и отдельно находить площадь каждого треугольника. Площади треугольников находим по формуле S=1/2bh, где S - это площадь треугольника, b - его сторона, а h - высота, проведенная к стороне b. После того, как вы вычислили площади всех треугольников, составляющих многоугольник, просто суммируйте эти площади, чтобы получить общую площадь основания призмы.

Видео по теме

Источники:

• площадь призмы

В геометрии параллелепипед - трехмерное число, сформированное шестью параллелограммами (термин ромбоид также иногда используется с этим значением).

Инструкция

В Евклидовой геометрии его охватывает все четыре понятия (то есть, параллелепипед, параллелограмм, куб, и квадрат). В этом контексте геометрии, в которой не дифференцированы углы, его определение допускает только параллелограмм и параллелепипед. Три эквивалентных определения :
* многогранник с шестью гранями (), каждый из которых является параллелограммом,

* шестигранник с тремя парами параллельных граней,

* призма, которой - параллелограмм.

Объем параллелепипеда – совокупность величин его основы - A и его высоты - H. Основа - одна из шести граней параллелепипеда. Высота - перпендикулярное расстояние между основой и противоположной стороной.

Альтернативный метод определения объема параллелепипеда осуществляется с помощью его векторов = (А1, А2, А3), b = (B1, B2, B3). Объем параллелепипеда, следовательно, равняется абсолютной величине трех значений - a (b × c):
A = |b | |c | степень погрешности при этом θ = |b × c |,

где θ - угол между b и c, и высота

H = |a |, потому что α,

где α - внутренний угол между a и h.

Видео по теме

Форму параллелепипеда имеют многие реальные объекты. Примерами являются комната и бассейн. Детали, имеющие такую форму - не редкость и в промышленности. По этой причине нередко возникает задача нахождения объема данной фигуры.

Инструкция

Параллелепипед представляет собой призму, основанием которой является параллелограмм. У параллелепипеда имеются грани - все плоскости, формирующие данную фигуру. Всего у него шесть граней, причем, все они являются параллелограммами. Его противоположные грани между собой равны и параллельны. Кроме того, он имеет диагонали, которые пересекаются в одной точке и в ней делятся пополам.

Параллелепипед двух видов. У первого все грани являются параллелограммами, а у второго - прямоугольниками. Последний из них называется прямоугольным параллелепипедом. У него все грани прямоугольные, а боковые грани перпендикулярны к основанию. Если прямоугольный имеет грани, которых - квадраты, то он называется кубом. В этом случае, его грани и . Ребром называется сторона любого многогранника, к числу которых относится и параллелепипед.

Для того, чтобы условиях задачи. У обыкновенного параллелепипеда в основании находится параллелограмм, а у прямоугольного - прямоугольник или квадрат, у которого всегда углы прямые. Если в основании параллелепипеда лежит параллелограмм, то его объем находится следующим образом:
V=S*H, где S - площадь основания, H -высота параллелепипеда
Высотой параллелепипеда обычно выступает его боковое ребро. В основании параллелепипеда может лежать и параллелограмм, не являющийся прямоугольником. Из курса планиметрии известно, что площадь параллелограмма равна:
S=a*h, где h - высота параллелограмма, a - длина основания, т.е. :
V=a*hp*H

Если имеет место второй случай, когда основание параллелепипеда - прямоугольник, то объем вычисляется по той же формуле, но площадь основания находится несколько иным образом:
V=S*H,
S=a*b, где a и b - соответственно, стороны прямоугольника и ребра параллелепипеда.
V=a*b*H

Для нахождения объема куба следует руководствоваться простыми логическими способами. Поскольку все грани и ребра куба равны, а в основании куба - квадрат, руководствуясь формулами, указанными выше, можно вывести следующую формулу:
V=a^3

Параллелепипед в геометрии – это трехмерное число, которое сформировано шестью параллелограммами. Форму параллелепипеда можно встретить везде, ее имеет большинство современных объектов. Так, к примеру, гостиницы и жилые дома, комнаты и бассейны и т.д. Обладают такой формой и многие промышленные детали, именно поэтому часто возникает задача нахождения объема данной фигуры.

Инструкция

Однако и второй вид параллелепипедов, в котором все грани прямоугольные, а боковые расположены перпендикулярно к основанию. Такой параллелепипед называется прямоугольным. Следует знать, что противоположные стороны параллелепипеда равны между собой, а также эта фигура имеет диагонали, пересекающиеся в одной точке, которая делит их пополам.

Определитесь, объем, какого параллелепипеда (обыкновенного или прямоугольного) вам следует узнать.

Если параллелепипед обыкновенный (в основании лежит параллелограмм). Узнайте площадь основания и высоту своей фигуры. Вычислите объем параллелепипеда по правило, высотой параллелепипеда выступает боковое ребро фигуры.

Кроме указанного способа, узнать объем параллелепипеда можно и следующим образом. Узнайте площадь. Для этого произведите вычисления по указанной ниже формуле S=a*h, где h в такой формуле – высота фигуры, а – длина основания параллелограмма.

Найдите объем параллелепипеда по формуле V=a*hp*H, где р в формуле – периметр основания фигуры. Если вам в задаче дан прямоугольный параллелепипед, то объем вы можете найти по такой же формуле: V=S*H.

Однако площадь основания фигуры будет находиться следующим образом: S=a*b, где a и b в формуле – это стороны прямоугольника и соответственно ребра параллелепипеда. Найдите объем фигуры по формуле V=a*b*H.

Видео по теме

Совет 5: Как найти объем параллелепипеда через основание

Под параллелепипедом имеется ввиду объемная геометрическая фигура, многогранник, основанием и боковыми гранями которого являются параллелограммы. Основание параллелепипеда - это тот четырехугольник, на котором этот многогранник визуально "лежит". Найти объем параллелепипеда через его основание очень легко.

Инструкция

Как было сказано выше, основанием параллелепипеда . Для того, чтобы найти параллелепипеда, необходимо выяснить площадь того параллелограмма, который лежит в основании. Для это, в зависимости от данных, несколько формул:

S = a*h, где а - сторона параллелограмма, h - высота, проведенная к этой стороне;м

S = a*b*sinα, где, a и b - стороны параллелограмма, α - угол между данными сторонами.

Пример 1: Дан параллелограмм, у которого одна из сторон 15 см, длина высоты, проведенной к данной стороне, 10 см. Тогда, чтобы найти площадь данной фигуры на плоскости, применяется первая из двух указанных выше формул:

S = 10*15 = 150 см²

Ответ: Площадь параллелограмма составляет 150 см²

Теперь, разобравшись с тем, как находить площадь параллелограмма, можно приступить к нахождению объема параллелепипеда. можно найти по формуле:

V = S*h, где h - высота данного параллелепипеда, S - площадь его основания, нахождение которой было рассмотрено выше.

Можно рассмотреть пример, который бы включал решенную выше задачу:

Площадь основания параллелограмма 150 см², его высота, допустим, 40 см, требуется найти объем данного параллелепипеда. Решается эта задача при помощи данной выше формулы:

V = 150*40 = 6000 см³

Одной из разновидностей параллелепипеда является прямоугольный параллелепипед, у которого боковые грани и основание являются прямоугольниками. У этой фигуры найти объем еще проще, чем у обычного прямого параллелепипеда, нахождение объема которого было рассмотрено выше:

V = a*b*c, где a, b, c, - это длина, ширина и высота данного параллелепипеда.

Пример: У прямоугольного параллелепипеда длина и ширина основания составляют 12 см и 14 см, длина боковой грани (высоты) 14 см, требуется вычислить объем фигуры. Решается задача таким вот образом:

V = 12*14*14 = 2352 см³

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 2352 см³

Параллелепипед - это призма (многогранник), в основании которой лежит параллелограмм. У параллелепипеда - шесть граней, тоже параллелограммы. Различают несколько типов параллелепипеда: прямоугольный, прямой, наклонный и куб.

Инструкция

Прямым параллелепипед, у которого четыре боковые грани - прямоугольники. Для вычисления нужно площадь основания умножить на высоту - V=Sh. Предположим, основание прямого - параллелограмм. Тогда площадь основания будет равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне - S=aс. Тогда V=ach.

Прямоугольным называется прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники. Примеры: , спичечная коробка. Для нужно площадь основания умножить на высоту - V=Sh. Площадь основания в данном случае - это площадь прямоугольника, то есть произведение величин двух его сторон - S=ab, где a - ширина, b - длина. Итак, получаем искомый объем - V=abh.

Наклонным называется параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны граням основания. В этом случае объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Высота наклонного параллелепипеда - перпендикулярный отрезок, опущенный из любой верхней вершины на соответствующую сторону основания боковой грани (то есть высота любой боковой грани).

Кубом называется прямой параллелепипед, у которого все ребра равны, а все шесть граней являются квадратами. Объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Основание - квадрат, площадь основания которого равна произведению двух его сторон, то есть величина стороны в квадрате. Высота куба - та же величина, поэтому в данном случае объемом будет величина ребра куба, возведенная в третью степень - V=a³.

Обратите внимание

Основания параллелепипеда всегда параллельны друг другу, это следует из определения призмы.

Полезный совет

Измерения параллелепипеда - это длины его ребер.

Объем всегда равен произведению площади основания на высоту параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда может быть вычислен, как произведение величины бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.

Параллелепипед - это частный случай призмы. Его отличительная особенность заключается в четырехугольной форме всех граней, а также в параллельности каждой пары стоящих друг напротив друга плоскостей. Существует общая формула для вычисления объема, заключенного внутри этой фигуры, а также несколько ее упрощенных вариантов для частных случаев такого шестигранника.

Инструкция

Начните с вычисления площади основания (S) параллелепипеда. Противоположные стороны четырехугольника, образующего эту плоскость объемной фигуры, по определению должны быть параллельны, а угол между ними может быть любым. Поэтому площадь грани определите умножением длин ее двух смежных ребер (a и b) на угла (?) между ними: S=a*b*sin(?).

Умножьте полученное значение на длину ребра параллелепипеда (с), образующего общий трехмерный угол со сторонами a и b. Так как боковая грань, которой принадлежит это ребро, по определению не обязательно должна быть перпендикулярна параллелепипеда, то рассчитанное значение умножьте еще и на синус угла наклона (?) боковой грани: V=S*c*sin(?). В общем виде формулу вычисления произвольного параллелепипеда можно записать так: V=a*b*c*sin(?)*sin(?). Например, пусть в основании параллелепипеда лежит грань, ребра которой имеют длины 15 и 25 и угол между ними в 30°, а боковые грани наклонены на 40° и имеют ребро, длиной в 20см. Тогда этой фигуры будет равен 15*25*20*sin(30°)*sin(40°) ? 7500*0,5*0,643 ? 2411,25см?.

Если нужно вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, то формулу можно значительно упростить. В силу того, что синус 90° равен единице, поправки на углы можно убрать из формулы, а значит, будет достаточно перемножить длины трех смежных ребер параллелепипеда: V=a*b*c. Например, для фигуры с длинами ребер, использованными в примере на предыдущем шаге, объем составит 15*25*20 = 7500см?.

Еще более проста формула для вычисления объема куба - прямоугольного параллелепипеда, все ребра которого имеют одинаковую длину. Возведите длину этого ребра (a) в куб, чтобы получить искомое значение: V=a?. Например, у прямоугольного параллелепипеда, длины всех ребер которого равны 15см, объем будет равен 153=3375см?.

Видео по теме

Прямоугольный параллелепипед - это призма, все грани которой образованы прямоугольниками. Противоположные грани его равны и параллельны, а углы, образованные пересечением двух граней, являются прямыми. Найти объем прямоугольного параллелепипеда очень просто.

Вам понадобится

• Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда.

Инструкция

Прежде всего надо отметить, что грани, образующие данный тип , являются прямоугольниками. Его площадь находится путем перемножения друг на друга пары его сторон. Говоря иначе, пусть a - длина прямоугольника, а b - его ширина. Тогда площадь его будет рассчитана как a*b.

Исходя из становится очевидным, что все противоположные грани равны друг другу. Это касается и основания - грани, на которую фигура "упирается".

Высота прямоугольного параллелепипеда - это длина бокового параллелепипеда. Высота остается величиной постоянной, это ясно из определения прямоугольного параллелепипеда. Теперь для того, чтобы помощи формулы это можно выразить так:
V = a*b*c = S*c, где c - высота.

При всей простоте исчисления, надо рассмотреть пример:
Допустим, дан прямоугольный параллелепипед, у которого длина и ширина основания 9 и 7 см, а высота составляет 17 см, требуется найти объем фигуры. Первым делом необходимо выяснить площадь основания данного параллелепипеда: 9*7 = 63 кв.см
Далее вычисленное значение умножается на высоту: 63*17 = 1071 куб.см
Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда составляет 1071 куб.см

Видео по теме

Обратите внимание

Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда носят название параметров. Если в прямоугольном параллелепипеде все параметры равны между собой, то фигура будет являться кубом. Исходя из определения, в кубе каждая грань является квадратом. Поэтому объем такого параллелепипеда определяется путем возведения значения грани в третью степень:
S = a³

Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n-угольники (основания) , лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани) . Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 1). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной . Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т.е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).

Для произвольной призмы верны формулы :

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P

Q

S бок

S полн

S осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямой призмы верны формулы:

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота.

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 2). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным . Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими . Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.

Теоремы.

1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

3. Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

Для произвольного параллелепипеда верны формулы:

где l – длина бокового ребра;

H – высота;

P – периметр перпендикулярного сечения;

Q – Площадь перпендикулярного сечения;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

S осн – площадь оснований;

V – объем призмы.

Для прямого параллелепипеда верны формулы:

где p – периметр основания;

l – длина бокового ребра;

H – высота прямого параллелепипеда.

Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:

(3)

где p – периметр основания;

H – высота;

d – диагональ;

a,b,c – измерения параллелепипеда.

Для куба верны формулы:

где a – длина ребра;

d – диагональ куба.

Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33 дм, а его измерения относятся, как 2: 6: 9. Найти измерения параллелепипеда.

Решение. Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся формулой (3), т.е. тем фактом, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Тогда измерения параллелепипеда будут равны 2k , 6k и 9k . Запишем формулу (3) для данных задачи:

Решая это уравнение относительно k , получим:

Значит, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 18 дм и 27 дм.

Ответ: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Пример 2. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом 60º к основанию.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 3).

Для того, чтобы найти объем наклонной призмы необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания данной призмы – это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Вычислим ее:

Высотой призмы является расстояние между ее основаниями. Из вершины А 1 верхнего основания опустим перпендикуляр на плоскость нижнего основания А 1 D . Его длина и будет высотой призмы. Рассмотрим DА 1 АD : так как это угол наклона бокового ребра А 1 А к плоскости основания, А 1 А = 8 см. Из этого треугольника находим А 1 D :

Теперь вычисляем объем по формуле (1):

Ответ: 192 см 3 .

Пример 3. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 14 см. Площадь наибольшего диагонального сечения равна 168 см 2 . Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 4)

Наибольшее диагональное сечение – прямоугольник AA 1 DD 1 , так как диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Для того, чтобы вычислить площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового ребра.

Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), найдем диагональ основания.

Поскольку , то

Так как то АВ = 6 см.

Тогда периметр основания равен:

Найдем площадь боковой поверхности призмы:

Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см равна:

Находим площадь полной поверхности призмы:

Ответ:

Пример 4. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений 300 см 2 и 875 см 2 . Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 5).

Обозначим сторону ромба через а , диагонали ромба d 1 и d 2 , высоту параллелепипеда h . Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда необходимо периметр основания умножить на высоту: (формула (2)). Периметр основания р = АВ + ВС + CD + DA = 4AB = 4a , так как ABCD – ромб. Н = АА 1 = h . Т.о. Необходимо найти а и h .

Рассмотрим диагональные сечения. АА 1 СС 1 – прямоугольник, одна сторона которого диагональ ромба АС = d 1 , вторая – боковое ребро АА 1 = h , тогда

Аналогично для сечения ВВ 1 DD 1 получим:

Используя свойство параллелограмма такое, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, получим равенство Получим следующее.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Разные призмы непохожи друг на друга. В то же время у них много общего. Чтобы найти площадь основания призмы, потребуется разобраться в том, какой вид оно имеет.

Общая теория

Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник - от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.

При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.

Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.

Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.

Треугольная призма

Она имеет в основании фигуру, имеющую три вершины, то есть треугольник. Он, как известно, бывает разным. Если то достаточно вспомнить, что его площадь определяется половиной произведения катетов.

Математическая запись выглядит так: S = ½ ав.

Чтобы узнать площадь основания в общем виде, пригодятся формулы: Герона и та, в которой берется половина стороны на высоту, проведенную к ней.

Первая формула должна быть записана так: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). В этой записи присутствует полупериметр (р), то есть сумма трех сторон, разделенная на два.

Вторая: S = ½ н а * а.

Если требуется узнать площадь основания треугольной призмы, которая является правильной, то треугольник оказывается равносторонним. Для него существует своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Четырехугольная призма

Ее основанием является любой из известных четырехугольников. Это может быть прямоугольник или квадрат, параллелепипед или ромб. В каждом случае для того, чтобы вычислить площадь основания призмы, будет нужна своя формула.

Если основание — прямоугольник, то его площадь определяется так: S = ав, где а, в — стороны прямоугольника.

Когда речь идет о четырехугольной призме, то площадь основания правильной призмы вычисляется по формуле для квадрата. Потому что именно он оказывается лежащим в основании. S = а 2 .

В случае когда основание — это параллелепипед, будет нужно такое равенство: S = а * н а. Бывает такое, что даны сторона параллелепипеда и один из углов. Тогда для вычисления высоты потребуется воспользоваться дополнительной формулой: н а = в * sin А. Причем угол А прилегает к стороне «в», а высота н а противолежащая к этому углу.

Если в основании призмы лежит ромб, то для определения его площади будет нужна та же формула, что для параллелограмма (так как он является его частным случаем). Но можно воспользоваться и такой: S = ½ d 1 d 2 . Здесь d 1 и d 2 - две диагонали ромба.

Правильная пятиугольная призма

Этот случай предполагает разбиение многоугольника на треугольники, площади которых узнать проще. Хотя бывает, что фигуры могут быть с другим количеством вершин.

Поскольку основание призмы — правильный пятиугольник, то он может быть разделен на пять равносторонних треугольников. Тогда площадь основания призмы равна площади одного такого треугольника (формулу можно посмотреть выше), умноженной на пять.

Правильная шестиугольная призма

По принципу, описанному для пятиугольной призмы, удается разбить шестиугольник основания на 6 равносторонних треугольников. Формула площади основания такой призмы подобна предыдущей. Только в ней следует умножать на шесть.

Выглядеть формула будет таким образом: S = 3/2 а 2 * √3.

Задачи

№ 1. Дана правильная прямая Ее диагональ равна 22 см, высота многогранника — 14 см. Вычислить площадь основания призмы и всей поверхности.

Решение. Основанием призмы является квадрат, но его сторона не известна. Найти ее значение можно из диагонали квадрата (х), которая связана с диагональю призмы (d) и ее высотой (н). х 2 = d 2 - н 2 . С другой стороны, этот отрезок «х» является гипотенузой в треугольнике, катеты которого равны стороне квадрата. То есть х 2 = а 2 + а 2 . Таким образом получается, что а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Подставить вместо d число 22, а «н» заменить его значением — 14, то получается, что сторона квадрата равна 12 см. Теперь просто узнать площадь основания: 12 * 12 = 144 см 2 .

Чтобы узнать площадь всей поверхности, нужно сложить удвоенное значение площади основания и учетверенную боковую. Последнюю легко найти по формуле для прямоугольника: перемножить высоту многогранника и сторону основания. То есть 14 и 12, это число будет равно 168 см 2 . Общая площадь поверхности призмы оказывается 960 см 2 .

Ответ. Площадь основания призмы равна 144 см 2 . Всей поверхности - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основании лежит треугольник со стороной 6 см. При этом диагональ боковой грани составляет 10 см. Вычислить площади: основания и боковой поверхности.

Решение. Так как призма правильная, то ее основанием является равносторонний треугольник. Поэтому его площадь оказывается равна 6 в квадрате, умноженному на ¼ и на корень квадратный из 3. Простое вычисление приводит к результату: 9√3 см 2 . Это площадь одного основания призмы.

Все боковые грани одинаковые и представляют собой прямоугольники со сторонами 6 и 10 см. Чтобы вычислить их площади, достаточно перемножить эти числа. Потом умножить их на три, потому что боковых граней у призмы именно столько. Тогда площадь боковой поверхности оказывается раной 180 см 2 .

Ответ. Площади: основания - 9√3 см 2 , боковой поверхности призмы - 180 см 2 .

В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела - многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры - прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело . К ним принято относить:

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение - это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить - 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

V = Sосн·h

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:

V = a²·h

Если речь идёт о кубе - правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

Sбок = Pосн·h

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:

Sбок = 4a·h

Для куба:

Sбок = 4a²

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Sполн = 4a·h + 2a²

Для площади поверхности куба:

Sполн = 6a²

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

• длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h);
• длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
• площадь основания: Sосн = V / h;
• площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Sдиаг = ah√2

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

dприз = √(2a² + h²)

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

Задание 1.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a . В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

V₁ = ha² = 10a²

Для второй коробки длина основания составляет 2a , но неизвестна высота уровня песка:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Поскольку V₁ = V₂ , можно приравнять выражения:

10a² = 4ha²

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

Задание 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения - длина, ширина и высота - равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

Задание 3.

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м² .

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

Как найти площадь куба